successioni che dipendono da n

[Luke99]

Ho provato a trovare una formula chiusa per la seguente successione [tex]a_n=-a_{n-1}+\frac{n}{2}[/tex] con il solito metodo della soluzione particolare e generale ma poi noto che essa non fornisce i valori esatti, qualcuno puó provare a risolverla mostrandomi tutti i passaggi ? Con [tex]a_0=1[/tex]

[Veritasium]

Devi dare [tex]a_0[/tex]

[Gerald Lambeau]

Beh, per risolverla non è che ci voglia molto, è una semplice induzione e c'è di mezzo solo la somma dei primi $n$ interi positivi, quindi $\displaystyle a_n=a_0+\frac{n(n+1)}{4}$. Non sto a scrivere tutti passaggi, spero tu ti fidi, è un'induzione scema comunque.

[Gizeta]

Testo nascosto:

[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^n{(a_i-a_{i-1})}=a_n-a_0[/tex]

dunque

[tex]\displaystyle a_n-a_0=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{i}=\frac{n(n+1)}{4}[/tex]

ossia

[tex]\displaystyle \boxed{a_n=a_0+\frac{n(n+1)}{4}}[/tex]

[Luke99]

Scusate ma mi sono accorto che mancava un meno oltre che [tex]a_0[/tex] ora ho corretto il testo

[matpro98]

Dovrebbe andare $a_n=(-1)^n+\dfrac {\lceil \dfrac {n}{2} \rceil}{2}$

[Gerald Lambeau]

$\displaystyle a_n=(-1)^n+\frac{\lceil \frac{n}{2} \rceil}{2}$ di nuovo per induzione, dividi il caso $n$ pari e $n$ dispari così non hai problemi con la parte intera superiore.
EDIT: battuto sul tempo, comunque confermo quanto dice matpro98.

[Luke99]

Ma [tex]a_1[/tex] seguendo la definizione per ricorrenza dovrebbe essere [tex]-1+1/2=-1/2[/tex] mentre calcolandolo con la vostra formula verrebbe[tex]-1+0=-1[/tex] perchè la parte intera di 1/2 sarebbe 0, cosa sbaglio ?

[Gerald Lambeau]

È la parte intera superiore, quella che intendi tu è invece la parte intera inferiore: se $x \in \mathbb{R}$ è tale che $m \le x \le m+1$ con $m \in \mathbb{Z}$ si definisce $\lfloor x\rfloor=m, \lceil x \rceil=m+1$.

[Luke99]

Ok grazie mille ora ho capito ma non arrivo a capire ancora come ci siete arrivati; io ho visto un A3 di un basic e loro mostravano come la soluzione fosse unq combinazione di soluzione generale e particolare. Quella generale l'ho capita ed é facile ma quella particolare non ancora, provando con una costante mi viene [tex]n/4[/tex] che peró a quanto pare non funziona, come avete fatto a trovare quella parte intera ?