Successioni e Potenze Quarte

[CosecantofPi]

Sia $(a_n)$ la sequenza $a_0=610, a_1=89, a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}$.
Trovare tutti gli $n$ tali che $2a_{n+1}a_n - 3$ sia una quarta potenza.

[CosecantofPi]

Sia $(a_n)$ la sequenza $a_0=610, a_1=89, a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}$.
Trovare tutti gli $n$ tali che $2a_{n+1}a_n - 3$ sia una quarta potenza.

Forse ho risolto, qualcuno puo' controllare la mia soluzione parziale?

Testo nascosto:

Costruiamo il polinomio particolare di quella legge ricorsiva: $$x^2=7x-1$$
Le soluzioni sono $$x= \frac{7+\sqrt{45}}{2}
y= \frac{7-\sqrt{45}}{2}$$
Allora la formula chiusa per l' $n$-esimo termine della successione e':
$$a_n=Ax^n + By^n$$ per qualche $A$ e $B$, troviamoli.
$$A+B=610$$
$$\frac{7A+\sqrt{45}A}{2} + \frac{7B-\sqrt{45}B}{2} = 89$$
Quindi $A= \frac{-682}{\sqrt{5}} + 305$ e $B=\frac{682}{\sqrt{5}} + 305$.
$$a_n=(\frac{-682}{5} + 305)\cdot(\frac{7+\sqrt{45}}{2})^n + (\frac{682}{\sqrt{5}} + 305)\cdot(\frac{7-\sqrt{45}}{2})^n$$
$$2a_{n+1}a_n - 3 =
2 ((305 + \frac{682}{\sqrt(5)}) (\frac{2}{(7 - 3 \sqrt(5))})^{-n - 1} + (305 - \frac{682}{\sqrt(5)}) (\frac{2}{(7 + 3 \sqrt(5))})^{-n - 1}) ((305 + \frac{682}{\sqrt(5)}) (\frac{1}{2} (7 - 3 \sqrt(5)))^n + (305 - \frac{682}{\sqrt(5)}) (\frac{1}{2} (7 + 3 \sqrt(5)))^n) - 3$$
Chiamiamo questa roba $Z$. Allora impostando $Z=c^4$ ottengo $n=3$.
Effettivamente funziona:
$$2a_4a_3 - 3 = 2*(2*1) - 3 = 1 = 1^4 = (-1)^4$$

Ma questo metodo non e' certo da gara. qualcuno mi aiuta?

[matpro98]

Perché non è da gara?

[CosecantofPi]

Perché non è da gara?

Per la soluzione di quell' equazione ho estratto il logaritmo e mi sono aiutato con dei risolutori online.. magari sono io stupido e c'è un altro modo di risolverla