Caccia alla radice!
Caccia alla radice!
Dato un polinomio monico $p(x)$ con coefficienti reali TUTTI POSITIVI $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$, tale che $$a_0a_n+a_1a_{n-1}+\dots +a_na_0>2^na_0$$ dimostrare che ha almeno una radice non reale.
EDIT: per quelli che hanno provato a risolverlo, mi ero dimenticato l'ipotesi che i coefficienti erano tutti positivi, perdonatemi.
EDIT: per quelli che hanno provato a risolverlo, mi ero dimenticato l'ipotesi che i coefficienti erano tutti positivi, perdonatemi.
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Re: Caccia alla radice!
Tesi falsa
Testo nascosto:
Ultima modifica di CosecantofPi il 10/07/2017, 12:48, modificato 2 volte in totale.
Re: Caccia alla radice!
Perchè le radici negative sono al più una? Applicando il criterio di Cartesio a $p(-x)$ i coefficienti di indice dispari cambiano segno, quindi se $n$ è pari abbiamo al più $\frac{n}{2}$ radici negative e se $n$ è dispari al più $\frac{n+1}{2}$, no?
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Re: Caccia alla radice!
Hai perfettamente ragione. Ciò completa la dimostrazione?Vinciii ha scritto:Perchè le radici negative sono al più una? Applicando il criterio di Cartesio a $p(-x)$ i coefficienti di indice dispari cambiano segno, quindi se $n$ è pari abbiamo al più $\frac{n}{2}$ radici negative e se $n$ è dispari al più $\frac{n+1}{2}$, no?
Re: Caccia alla radice!
Inoltre la seconda parte credo sia giusta così: si deve avere $2a_0a_1>2^1a_0\Rightarrow a_1>1$, il che è falso poichè il polinomio è monico, e quindi non esistono polinomi di grado $1$ che soddisfano le ipotesi.
EDIT: si, completa la dimostrazione perchè $\frac{n+1}{2}$ e $\frac{n}{2}$ sono minori di $n$.
EDIT: si, completa la dimostrazione perchè $\frac{n+1}{2}$ e $\frac{n}{2}$ sono minori di $n$.
- Federico II
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Re: Caccia alla radice!
Siete sicuri di quello che dite? Mi pare che il polinomio $(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$ abbia tutti i coefficienti positivi e tutte le radici reali negative... ma poi non vi viene un dubbio se non usate mai il vincolo sui coefficienti se non per $n=1$?
Il responsabile della sala seminari
Re: Caccia alla radice!
Hai ragione! Errore mio, $p(-x)$ ha $n$ variazioni
Re: Caccia alla radice!
Ma poi, la tesi è falsa ($x^2 + 2x + 1$).
Non so con quali armi si combatterà la Terza Guerra Mondiale, ma la Quarta sì: con bastoni e pietre.
Albert Einstein
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