Caccia alla radice!

[Vinciii]

Dato un polinomio monico $p(x)$ con coefficienti reali TUTTI POSITIVI $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$, tale che $$a_0a_n+a_1a_{n-1}+\dots +a_na_0>2^na_0$$ dimostrare che ha almeno una radice non reale.
EDIT: per quelli che hanno provato a risolverlo, mi ero dimenticato l'ipotesi che i coefficienti erano tutti positivi, perdonatemi.

[CosecantofPi]

Tesi falsa

Testo nascosto:

Usiamo la regola dei segni di Descartes: un polinomio della forma
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$

Con gli $(a_n)$ positivi, ha ovviamente 0 radici reali positive, e ha al piu' una radice reale negativa. Ma dato che sappiamo che ha $n$ radici, avra' sempre almeno una radice complessa.
Il caso da verificare e' quando n=1. Un polinomio di primo grado si può esprime come
$a_1x + a_0$
Puo' non avere radici immaginarie.
Facendo però la somma dei due prodotti dei coefficienti ottengo:
$$a_0a_1+a_1a_0=2a_0a_1$$
Il termine nell RHS non e' sempre $\geq 2^na_0$ per cui quest'ultimo caso non va considerato, poichè il problema ci chiede esplicitamente che l' LHS sia maggiore
EDIT grazie a Vinci

Testo nascosto:

Le radici negative non sono al più 1, ma al piu $\frac{n}{2}$ per $n$ pari e $\frac{n+1}{2}$per $n$ dispari.

[Vinciii]

Perchè le radici negative sono al più una? Applicando il criterio di Cartesio a $p(-x)$ i coefficienti di indice dispari cambiano segno, quindi se $n$ è pari abbiamo al più $\frac{n}{2}$ radici negative e se $n$ è dispari al più $\frac{n+1}{2}$, no?

[CosecantofPi]

Perchè le radici negative sono al più una? Applicando il criterio di Cartesio a $p(-x)$ i coefficienti di indice dispari cambiano segno, quindi se $n$ è pari abbiamo al più $\frac{n}{2}$ radici negative e se $n$ è dispari al più $\frac{n+1}{2}$, no?

Hai perfettamente ragione. Ciò completa la dimostrazione?

[Vinciii]

Inoltre la seconda parte credo sia giusta così: si deve avere $2a_0a_1>2^1a_0\Rightarrow a_1>1$, il che è falso poichè il polinomio è monico, e quindi non esistono polinomi di grado $1$ che soddisfano le ipotesi.
EDIT: si, completa la dimostrazione perchè $\frac{n+1}{2}$ e $\frac{n}{2}$ sono minori di $n$.

[Federico II]

Siete sicuri di quello che dite? Mi pare che il polinomio $(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$ abbia tutti i coefficienti positivi e tutte le radici reali negative... ma poi non vi viene un dubbio se non usate mai il vincolo sui coefficienti se non per $n=1$?

[Vinciii]

Hai ragione! Errore mio, $p(-x)$ ha $n$ variazioni

[cip999]

Ma poi, la tesi è falsa ($x^2 + 2x + 1$).