[L04] Radici a destra e a manca

[Gerald Lambeau]

Siano $a, b, c$ reali positivi tali che $a+b+c=1$. Dimostrare che
$\sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b} \ge 1 + \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$.

[Vinciii]

Non faccio mai disuguaglianze ma provo:

Testo nascosto:

Parto da $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0$, porto a destra i doppi prodotti e aggiungo $c$ ambi i membri :$a+b+c\ge 2\sqrt{ab}+c$. Adesso sostituendo $a+b+c$ con $1$ e moltiplicando tutto per $c$ si ottiene $c\ge c^2+2c\sqrt{ab}$ alla quale aggiungiamo ambi i membri $ab$ ottenendo $ab+c\ge ab+c^2+2c\sqrt{ab}$, e dato che $ab+c^2+2c\sqrt{ab}=(\sqrt{ab}+c)^2$, estraendo radice otteniamo $$\sqrt{ab+c}\ge \sqrt{ab}+c$$. Per gli stessi motivi saranno vere le cicliche $$\sqrt{ac+b}\ge \sqrt{ac}+b$$ e $$\sqrt{bc+a}\ge \sqrt{bc}+a$$ Sommandole e sostituendo $a+b+c=1$ si ottiene la tesi.

[Gerald Lambeau]

Ottimo!
Altra strada: uso il vincolo per omogenizzarla, a sinistra intanto sotto le radici escono fuori $(a+b)(a+c)$ e cicliche. Siccome non ci piacciono le radici a destra $a=x^2$ e cicliche, ma come trattiamo la somma ciclica di $((x^2+y^2)(x^2+z^2))^{1/2}$ a sinistra? Basta una sola diretta applicazione di Cauchy-Schwarz (o anche AM-GM su $y^2x^2+z^2x^2$) per ottenere che quella roba è maggiore o uguale di somma ciclica di $x^2+yz$, che è l'$RHS$ !