Siano $a, b, c$ reali positivi tali che $a+b+c=1$. Dimostrare che
$\sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b} \ge 1 + \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$.
[L04] Radici a destra e a manca
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[L04] Radici a destra e a manca
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: [L04] Radici a destra e a manca
Non faccio mai disuguaglianze ma provo:
Testo nascosto:
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Re: [L04] Radici a destra e a manca
Ottimo!
Altra strada: uso il vincolo per omogenizzarla, a sinistra intanto sotto le radici escono fuori $(a+b)(a+c)$ e cicliche. Siccome non ci piacciono le radici a destra $a=x^2$ e cicliche, ma come trattiamo la somma ciclica di $((x^2+y^2)(x^2+z^2))^{1/2}$ a sinistra? Basta una sola diretta applicazione di Cauchy-Schwarz (o anche AM-GM su $y^2x^2+z^2x^2$) per ottenere che quella roba è maggiore o uguale di somma ciclica di $x^2+yz$, che è l'$RHS$ !
Altra strada: uso il vincolo per omogenizzarla, a sinistra intanto sotto le radici escono fuori $(a+b)(a+c)$ e cicliche. Siccome non ci piacciono le radici a destra $a=x^2$ e cicliche, ma come trattiamo la somma ciclica di $((x^2+y^2)(x^2+z^2))^{1/2}$ a sinistra? Basta una sola diretta applicazione di Cauchy-Schwarz (o anche AM-GM su $y^2x^2+z^2x^2$) per ottenere che quella roba è maggiore o uguale di somma ciclica di $x^2+yz$, che è l'$RHS$ !
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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