prime funzionali
Inviato: 31/07/2017, 19:17
Sia f una funzione da R in sé tale che [tex]f(x + f(y)) = f(x) + y[/tex] per ogni x, y.
Quali valori può assumere f(100)
Quali valori può assumere f(100)
Testo nascosto:
Sostituisco $(x,y)\rightarrow (0,y)$
ed ottengo $$f(f(y))=y+f(0)$$ e dato che $x+f(0)$ è sia iniettiva che suriettiva abbiamo che nella composizione $f\circ f$ la più interna ($f$) è iniettiva e la più esterna (sempre $f$) è suriettiva, e quindi una qualunque soluzione deve essere biiettiva. Sostituisco $(x,y)\rightarrow (x,0)$ ed ottengo $$f(x+f(0))=f(x)$$ e dato che $f$ è iniettiva avremo $x+f(0)=x$ da cui $f(0)=0$, e quindi l'equazione di prima diventa $f(f(y))=y$. Essendo biiettiva è invertibile, ed inoltre è l'inversa di sè stessa. Dato he una funzione inversa si ottiene graficamente simmetrizzando una funzione rispetto alla retta $y=x$ abbiamo che l'unica funzione inversa di sè stessa è proprio la retta $y=x$ che quindi è la nostra unica possibile soluzione. Una veloce verifica ci fa vedere che $f(x)=x$ soddisfa la nostra equazione funzionale e quindi l'unico valore possibile per $f(100)$ è proprio $100$. Fatemi sapere
ed ottengo $$f(f(y))=y+f(0)$$ e dato che $x+f(0)$ è sia iniettiva che suriettiva abbiamo che nella composizione $f\circ f$ la più interna ($f$) è iniettiva e la più esterna (sempre $f$) è suriettiva, e quindi una qualunque soluzione deve essere biiettiva. Sostituisco $(x,y)\rightarrow (x,0)$ ed ottengo $$f(x+f(0))=f(x)$$ e dato che $f$ è iniettiva avremo $x+f(0)=x$ da cui $f(0)=0$, e quindi l'equazione di prima diventa $f(f(y))=y$. Essendo biiettiva è invertibile, ed inoltre è l'inversa di sè stessa. Dato he una funzione inversa si ottiene graficamente simmetrizzando una funzione rispetto alla retta $y=x$ abbiamo che l'unica funzione inversa di sè stessa è proprio la retta $y=x$ che quindi è la nostra unica possibile soluzione. Una veloce verifica ci fa vedere che $f(x)=x$ soddisfa la nostra equazione funzionale e quindi l'unico valore possibile per $f(100)$ è proprio $100$. Fatemi sapere