Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Siano $x_1, x_2$ e $x_3$ le radici del polinomio. Dalle relazioni radici-coefficienti abbiamo $$x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3 \\ x_1x_2x_3=-n$$ Avremo $${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=6$$ e quindi le uniche soluzioni possibili (a meno dell'ordine) sono $|x_1|=|x_2|=1$ e $|x_3|=2$ (poichè sono le uniche che danno al quadrato un intero minore di $6$ e porre una o più delle radici uguali a zero non dà altre configurazioni possibili). Le uniche soluzioni a soddisfare $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3$ sono $x_1=x_2=-1$ e $x_3=2$, oppure $x_1=x_2=1$ e $x_3=-2$, da cui $n=-x_1x_2x_3=-2$ oppure $n=2$.