Somma di quadrati
Inviato: 28/09/2017, 16:49
Siano $a$, $b $ e $c $ tre numeri reali positivi e inferiori a $1$. Si dimostri che vale la seguente disuguaglianza:
$a^2+b^2+c^2\le a^2b+b^2c+c^2a+1$.
$a^2+b^2+c^2\le a^2b+b^2c+c^2a+1$.
Testo nascosto:
Dal momento che $a$ è $\leq 1$ e $\ge 0$ vale $a^{n+1}\le a^n$ (e quindi stessa cosa per $b$ e $c$) per ogni $n$ intero positivo, pertanto $$a^2b+b^2c+c^2a+1 \ge a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1$$
quindi se dimostriamo che $$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1\ge a^2+b^2+c^2$$abbiamo finito.
Dividiamo il problema in due casi :
1) $a^2+b^2 \geq 1 \Rightarrow a^2b^2+(a^2+b^2)c^2 + 1 \ge a^2+b^2+c^2$. Notiamo che $a^2b^2+(a^2+b^2)c^2 + 1 \ge a^2b^2 + c^2+1$. La disuguaglianza$$a^2b^2 + 1 \ge a^2+b^2$$è banalmente vera poichè la si può scrivere come $$0 \ge (a^2-1)(1-b^2)$$che è ovviamente vera come detto, pertanto vale $$a^2b^2+(a^2+b^2)c^2 + 1 \ge a^2b^2 + c^2+1\ge a^2+b^2+c^2$$
2) $a^2+b^2 \leq 1$ scrivo la disuguaglianza come $a^2b^2 + c^2(a^2+b^2-1) + 1 \ge a^2+b^2$. Notiamo che $a^2+b^2-1 \leq 0$ quindi $LHS(c)$ ha un minimo per $c=1$ poichè è il massimo valore che $c$ può assumere. Da ciò segue che $$a^2b^2 + c^2(a^2+b^2-1) + 1 \ge a^2b^2 + a^2 + b^2 \ge a^2+b^2$$dove l'ultima disuguaglianza è banalmente vera poichè $a,b \ge 0$. Ciò conclude la dimostrazione.
quindi se dimostriamo che $$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1\ge a^2+b^2+c^2$$abbiamo finito.
Dividiamo il problema in due casi :
1) $a^2+b^2 \geq 1 \Rightarrow a^2b^2+(a^2+b^2)c^2 + 1 \ge a^2+b^2+c^2$. Notiamo che $a^2b^2+(a^2+b^2)c^2 + 1 \ge a^2b^2 + c^2+1$. La disuguaglianza$$a^2b^2 + 1 \ge a^2+b^2$$è banalmente vera poichè la si può scrivere come $$0 \ge (a^2-1)(1-b^2)$$che è ovviamente vera come detto, pertanto vale $$a^2b^2+(a^2+b^2)c^2 + 1 \ge a^2b^2 + c^2+1\ge a^2+b^2+c^2$$
2) $a^2+b^2 \leq 1$ scrivo la disuguaglianza come $a^2b^2 + c^2(a^2+b^2-1) + 1 \ge a^2+b^2$. Notiamo che $a^2+b^2-1 \leq 0$ quindi $LHS(c)$ ha un minimo per $c=1$ poichè è il massimo valore che $c$ può assumere. Da ciò segue che $$a^2b^2 + c^2(a^2+b^2-1) + 1 \ge a^2b^2 + a^2 + b^2 \ge a^2+b^2$$dove l'ultima disuguaglianza è banalmente vera poichè $a,b \ge 0$. Ciò conclude la dimostrazione.
