Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Qualcuno mi potrebbe spiegare la strategia da usare in questo esercizio?
Indicato con Tn l’n−esimo numero triangolare (cio`e Tn = 1+2+3+. . .+n), dire quanto vale l’espressione 1/980·(T46 · T1 + T45 · T2 + T44 · T3 + . . . + T2 · T45 + T1 · T46).

Dimostra per induzione che $$\sum_{k=1}^n T_kT_{n-k+1}={n+4 \choose 5}$$
In realtà per trovare questa cosa ho usato un metodo che confonderebbe le idee ancora di più, quindi possiamo fare finta che il problema venga da una GaS del tipo tor vergata in cui cercare identità guardando il triangolo di tartaglia/casi piccoli è normale (soprattutto se noti che $T_n={n+1\choose 2}$)

Potresti spiegarmi come ci sei arrivato che non capisco?

Ho usato principalmente una formula notevole che torna abbastanza spesso quando si lavora con le funzioni generatrici, ovvero
$$\frac{1}{(1-x)^k}=\sum_{i=0}^{\infty}{k-1+i \choose k-1}x^{i}$$
Se guardi la somma richiesta puoi notare che è tipo il coefficiente di grado $45$ dello sviluppo in serie di potenze di $\left[\frac{1}{(1-x)^3}\right]^{2}$ (davvero se provi a svolgere bovinamente il prodotto delle due serie viene quella sommatoria come coefficiente), ma sappiamo bene qual è il coefficiente di grado $45$ di $\frac{1}{(1-x)^6}$ (${50\choose 5}$) sempre per la nostra formuletta magica, ma quindi questi due coefficienti devono essere uguali.

L'avevo detto che l'approccio confondeva le idee

Scusa per la mia ignoranza non ho capito i passaggi che hai fatto....Me li potresti rispiegare?:D

Che passaggio non ti è chiaro?

Perché (1-x) alla 6
Perché i =45
Cosa stanno ad indicare k e i?

$$\sum_{i=0}^{\infty}{6-1+i \choose 6-1}x^i=\frac{1}{(1-x)^6}=\frac{1}{(1-x)^3}\cdot\frac{1}{(1-x)^3}=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{3-1+i\choose 3-1}x^i\right)\cdot \left(\sum_{i=0}^{\infty}{3-1+i\choose 3-1}x^i\right)=\left(\sum_{i=0}^{\infty}T_{i+1}x^i\right)\cdot \left(\sum_{i=0}^{\infty}T_{i+1}x^i\right)$$
Ora immagina di voler trovare il termine di grado $45$ del RHS, cosa ottieni?
Ora nei passaggi non esiste più $k$ quindi non può più confonderti $i$ invece è solo un indice per scrivere la sommatoria, non è nulla di speciale (non è l'unità immagiaria o altre cose buffe per esempio, solo un modo più veloce di scrivere una somma).