Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Abbiamo un cilindro di volume fissato. Trovare qual è la minima superficie totale. Si riesce a fare con le derivate ma mi chiedevo se fosse possibile con le disuguaglianze tra le medie

Non ho ancora fatto le derivate , ma quanto dovrebbe venire che sono curioso?

Beh sì è anche molto facile con le disuguaglianze tra medie.

La soluzione è il cilindro equilatero, abbastanza intuitiva. Ma come devo impostare la disuguaglianza?

Mah per esempio se chiami il raggio di base $r$ e l'altezza $h$ il volume è $V=\pi r^2 h$ e la superficie totale è $S=2\pi r h+2\pi r^2$, per amgm su $(rh/2, rh/2, r^2)$ hai
$$\frac{S}{6\pi}=\frac{\frac{rh}{2}+\frac{rh}{2}+r^2}{3}\geq \sqrt[3]{\frac{r^4h^2}{4}}=\sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi^2}}$$
E quindi $S\geq \sqrt[3]{54\pi V^2}$ (che è un numero), con uguaglianza se e solo se $rh=2r^2\Leftrightarrow h=2r$

Grazie

Tra l'altro problemi del genere li fai più in fretta così che con le derivate appena prendi un po' la mano (almeno per me al liceo era così)