Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

avrei bisogno di una mano su questo problema che non riesco proprio a risolvere...Arctanoid è un gioco il cui obiettivo è distruggere un enorme muro formato da 2015 mattoncini: Mario è imbattibile e
li distrugge al ritmo di uno al secondo. Il punteggio viene assegnato in questo modo: ogni due mattoncini distrutti si
guadagna un numero razionale di punti pari al rapporto tra 10 000 e (s^2)-1
, dove s sono i secondi trascorsi dall’inizio
del gioco. Perciò, quando dopo 2 secondi Mario distrugge il secondo mattoncino guadagna i suoi primi 10 000 /3
punti e
quando dopo 4 secondi distrugge il quarto guadagna altri 10 000
/15 punti. Quanti punti avrà alla fine del gioco?

Prova a scrivere quelle frazioni come differenze, e a vedere quanti addendi si semplificano...

temo di non aver capito l hint , che intedi per "scrivere quelle frazioni come differenze" ? se intendi che mi sento stupido

se conosci il problema di Basilea DEVI conoscere già questo trucco
Scrivi $\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$ e nota che nella somma che fai si semplificano cose

Ecco, una variante della serie di Mengoli insomma

grazie mille dell aiuto , in effetti non conoscevo il problema di basilea , ma ci sarei dovuto arrivare lo stesso .in effetti quando l ho chiesto a macchiaroli ( sono andato a cesenatico per la gara a squadre e non avevo ancora letto questi messagi ) mi ha fatto vedere che in generale una frazione con denominatore prodotto di a e b si puo sempre scrivere come somma di due frazioni con denominatore a e l altra denominatore b ,trovi il numeratore in modo semplice con un sistemino e tal volta questa cosa è utile ..ps a questo punto sono curioso di conoscere il problema di basilea e sapere ( per ragioni non connesse ) che se pensate del libro " the art of problem solving "

Vale anche per il calcolo letterale, e in tal caso assume il nome di scomposizione in fratti semplici di Hermite, molto utile quando si tratta di trovare le primitive di una funzione razionale.

Beh avevi dato impressione con i tuoi messaggi di conoscere il fatto che la serie dei reciproci dei quadrati converge a $\frac{\pi^2}{6}$ che è noto come problema di Basilea ed è ben più difficile di questo (la stessa dimostrazione che quella serie converge si fa con degli argomenti telescopici se ricordo bene, a patto che eviti il criterio di condensazione di cauchy o stime con integrali, per quello dicevo che conoscendo quel fatto sei in un certo senso tenuto a sapere come si fa il tuo problema ). Il libro che dici è stato già discusso da qualche parte sul forum e non credo che le impressioni siano cambiate, prova con la funzione "cerca".

Clicca qui per una (tre, se si seguono i due link contenuti all'interno di quest'ultima pagina) discussione sulla decomposizione.
La stessa tecnica è brevemente citata in The Art and Craft of Problem Solving nella nota numero 7 relativa all'esempio 4.3.4 pagg. 134-135.

Il libro di Zeitz presenta una buona illustrazione di buona parte della teoria e i primi capitoli incentrati sull'aspetto psicologico del problem solving potrebbero suscitare interesse, ma di contro ha un numero piuttosto scarso di problemi (quasi tutti privi di soluzione); è più accessibile di Problem-Solving Strategies e non lesina con i dettagli delle soluzioni dei problemi d'esempio, a differenza del testo di Engel (la sezione iniziale del capitolo sugli invarianti è un buon banco di prova, in tal senso - cfr. Capitolo 1, Problema d'esempio 1).
In definitiva, suggerirei di utilizzarlo accompagnato da una buona raccolta di problemi (l'Engel e i vari problemi delle olimpiadi italiane, ad esempio).

Lasker ha scritto:Beh avevi dato impressione con i tuoi messaggi di conoscere il fatto che la serie dei reciproci dei quadrati converge a $\frac{\pi^2}{6}$ che è noto come problema di Basilea ed è ben più difficile di questo (la stessa dimostrazione che quella serie converge si fa con degli argomenti telescopici se ricordo bene, a patto che eviti il criterio di condensazione di cauchy o stime con integrali, per quello dicevo che conoscendo quel fatto sei in un certo senso tenuto a sapere come si fa il tuo problema ). Il libro che dici è stato già discusso da qualche parte sul forum e non credo che le impressioni siano cambiate, prova con la funzione "cerca".

in effetti so solo che converge a quel valore perche in una lezione piu tosto divulgativa di oddifreddi cita questo fatto per dire che i numeri primi non sono poi cosi solitari , ma non conoscevo neanche mezza idea della dimostrazione ne che si chiamasse problema di basilea .. , gizeta grazie mille dell aiuto riguardo il libro ,in effetti il lato psicologico mi interessa , ma so bene che" l ansia da prestazione "si combatte soprattutto con tonnellate di problemi , quindi credo che prendero entrambi