Dimostrare che $\forall n\in\mathbb N$ vale $$\displaystyle\sum_{i=0}^n\frac{i}{(i+1)!}<1$$
O, "equivalentemente", dimostrare che $$\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N}\frac{i}{(i+1)!}=1$$
Somma finita
Re: Somma finita
Svolgo il secondo, che mi sembra più intuitivo, ed è comunque una congettura più forte 
Perché più intuitivo?Semplice, nei dati si vede che la somma tende esattamente ad 1, quindi sospetto che la formula chiusa per la sommatoria di tutti i termini fino ad n sia nella forma 1-(qualcosa).
Vediamo i valori per i primi i...
i=0 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a 0=1-1
i=1 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a [tex]\dfrac {1}{2}=1-\dfrac {1}{2}[/tex]
i=2 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a [tex]\dfrac {5}{6}=1-\dfrac {1}{6}[/tex]
i=3 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a [tex]\dfrac {23}{24}=1-\dfrac {1}{24}[/tex]
Credo di potermi fermare e dire con una buona sicurezza che la formula è [tex]1-\dfrac{1}{(i+1)!}[/tex]
Provo adesso a dimostrarlo per induzione...
1)Passo base svolto (senza non avrei congetturato la formula
)
2)Passo induttivo :
[tex]0+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+...+\dfrac{n}{(n+1)!}+\dfrac{(n+1)}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
[tex]1-\dfrac{1}{(n+1)!}+\dfrac{(n+1)}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
[tex]1+\dfrac{(n+1-n-2)}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
[tex]1-\dfrac{1}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
Verificata! Dunque la formula vale [tex]\forall\ i \in\ \mathbb{N}[/tex]
Per concludere, visto che [tex]1-\dfrac{1}{(n+2)!}\ < 1[/tex] , anche [tex]\displaystyle\sum_{i=0}^n\frac{i}{(i+1)!}<1[/tex]
[tex]\displaystyle C.V.D.[/tex]
Perché più intuitivo?Semplice, nei dati si vede che la somma tende esattamente ad 1, quindi sospetto che la formula chiusa per la sommatoria di tutti i termini fino ad n sia nella forma 1-(qualcosa).
Vediamo i valori per i primi i...
i=0 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a 0=1-1
i=1 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a [tex]\dfrac {1}{2}=1-\dfrac {1}{2}[/tex]
i=2 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a [tex]\dfrac {5}{6}=1-\dfrac {1}{6}[/tex]
i=3 [tex]\longrightarrow[/tex] la somma tende a [tex]\dfrac {23}{24}=1-\dfrac {1}{24}[/tex]
Credo di potermi fermare e dire con una buona sicurezza che la formula è [tex]1-\dfrac{1}{(i+1)!}[/tex]
Provo adesso a dimostrarlo per induzione...
1)Passo base svolto (senza non avrei congetturato la formula
)2)Passo induttivo :
[tex]0+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+...+\dfrac{n}{(n+1)!}+\dfrac{(n+1)}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
[tex]1-\dfrac{1}{(n+1)!}+\dfrac{(n+1)}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
[tex]1+\dfrac{(n+1-n-2)}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
[tex]1-\dfrac{1}{(n+2)!}=1-\dfrac{1}{(n+2)!}[/tex]
Verificata! Dunque la formula vale [tex]\forall\ i \in\ \mathbb{N}[/tex]
Per concludere, visto che [tex]1-\dfrac{1}{(n+2)!}\ < 1[/tex] , anche [tex]\displaystyle\sum_{i=0}^n\frac{i}{(i+1)!}<1[/tex]
[tex]\displaystyle C.V.D.[/tex]
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
Re: Somma finita
Ok, esatto: quella somma è uguale a quello che hai scritto tu e per $n$ infinitamente grandi il reciproco del fattoriale è infinitamente piccolo (tende a 0).
Un altro modo per dimostrare quella formula è telescopizzare il tutto: $\displaystyle\frac{i}{(i+1)!}=\frac{i+1-1}{(i+1)!}=\frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}$ e quindi ogni termine, a parte il primo e l'ultimo, vengono sommati una volta con il + e una con il -, e quindi si annullano
Un altro modo per dimostrare quella formula è telescopizzare il tutto: $\displaystyle\frac{i}{(i+1)!}=\frac{i+1-1}{(i+1)!}=\frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}$ e quindi ogni termine, a parte il primo e l'ultimo, vengono sommati una volta con il + e una con il -, e quindi si annullano