I quadrati sono più forti!

[Drago]

Dati tre reali $a,b,c$ dimostrare che vale
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$

[Lasker]

Riscrivo la disuguaglianza come
[tex](a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \geq 0[/tex] (banalmente vera perché il quadrato di un numero reale è non negativo)
Sviluppando
[tex]a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0[/tex]

[tex]2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2ac+2bc[/tex]

Da cui segue la tesi dividendo per 2 entrambi i membri (il verso della disuguaglianza non si cambia perché 2 è positivo)

[tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc[/tex]

[tex]QED[/tex]

Giusto?

[Drago]

Yup!

Solo una pignoleria sul lessico: "riscrivere" è una parola abbastanza grossa per quello che hai fatto; però non cambia nulla, dato che hai fatto vedere in pratica che $a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\iff(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$ e la seconda è banalmente vera

[Salvador]

Testo nascosto:

Si può anche usare la disuguaglianza di riarrangiamento, osservando che la disuguaglianza è simmetrica, dunque si può supporre $a\ge b\ge c$ e applicare la disuguaglianza di riarrangiamento considerando le due successioni identiche $a,b,c$

[Lasker]

Potente questo necroposting, ero più giovane di te quando ho postato la mia soluzione

[Salvador]

Lol
Sono andato a cercare tra i vecchi esercizi per allenarmi
Comunque io ora ho 17 anni