Doppia disuguaglianza

[Drago]

Dimostrare che per ogni $a,b,c$ reali positivi vale

$$ \displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq\frac{9}{a+b+c} $$

[Lasker]

Risolvo inizialmente la prima parte di disuguaglianza

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}[/tex]

Noto come le medie siano positive e

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{HM_{ab}}[/tex] e

[tex]\frac{2}{a+b}=\frac{1}{AM_{ab}}[/tex]

Ora, visto che [tex]AM\geq\ HM[/tex] [tex]\longrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{HM}\geq\frac{1}{AM}[/tex]

Bene, dovrei quasi esserci, ora basta accoppiare ogni HM con la corrispondente AM, contando due volte ogni termine a sinistra, tanto abbiamo già visto che che contando solo [tex](a,b)[/tex] ci compare il DOPPIO del reciproco della media armonica.

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}[/tex]

[tex]\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{b+c}[/tex]

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+c}[/tex]

[tex]QED[/tex]

Con un ragionamento analogo si può dimostrare la seconda disuguaglianza, operando la sostituzione
[tex]a+b\longrightarrow A[/tex]
[tex]b+c\longrightarrow B[/tex]
[tex]a+c\longrightarrow C[/tex]

[tex]\frac{2}{A}+\frac{2}{B}+\frac{2}{C}\geq \frac{18}{A+B+C}[/tex]
divido entrambi i membri per 3 e ottengo
[tex]\frac{3}{HM_{ABC}}\geq \frac{3}{AM_{ABC}}[/tex] Vera per quanto dimostrato in precedenza

[tex]QED[/tex]

Spero di essermi espresso chiaramente e di non aver preso abbagli

[Lasker]

Errata corrige, quando ho scritto "divido entrambi i membri per 3" intendevo "2"

[Drago]

Ok, giuste entrambe (una cosa sulla prima: hai spiegato a parole piuttosto bene quello che facevi, ma poi quando hai scritto le tre disuguaglianze hai preso i diviso 2)
Una riscrittura a volte utile di AM-HM, molto vicina alla seconda disuguaglianza, è $$\displaystyle\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}\right)\left(a_1+a_2+\dots+a_n\right)\ge n^2$$

P.S: puoi modificare il messaggio!