Dimostrare che per ogni $a,b,c$ reali positivi vale
$$ \displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq\frac{9}{a+b+c} $$
Doppia disuguaglianza
Re: Doppia disuguaglianza
Risolvo inizialmente la prima parte di disuguaglianza
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}[/tex]
Noto come le medie siano positive e
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{HM_{ab}}[/tex] e
[tex]\frac{2}{a+b}=\frac{1}{AM_{ab}}[/tex]
Ora, visto che [tex]AM\geq\ HM[/tex] [tex]\longrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{HM}\geq\frac{1}{AM}[/tex]
Bene, dovrei quasi esserci, ora basta accoppiare ogni HM con la corrispondente AM, contando due volte ogni termine a sinistra, tanto abbiamo già visto che che contando solo [tex](a,b)[/tex] ci compare il DOPPIO del reciproco della media armonica.
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}[/tex]
[tex]\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{b+c}[/tex]
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+c}[/tex]
[tex]QED[/tex]
Con un ragionamento analogo si può dimostrare la seconda disuguaglianza, operando la sostituzione
[tex]a+b\longrightarrow A[/tex]
[tex]b+c\longrightarrow B[/tex]
[tex]a+c\longrightarrow C[/tex]
[tex]\frac{2}{A}+\frac{2}{B}+\frac{2}{C}\geq \frac{18}{A+B+C}[/tex]
divido entrambi i membri per 3 e ottengo
[tex]\frac{3}{HM_{ABC}}\geq \frac{3}{AM_{ABC}}[/tex] Vera per quanto dimostrato in precedenza
[tex]QED[/tex]
Spero di essermi espresso chiaramente e di non aver preso abbagli
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}[/tex]
Noto come le medie siano positive e
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{HM_{ab}}[/tex] e
[tex]\frac{2}{a+b}=\frac{1}{AM_{ab}}[/tex]
Ora, visto che [tex]AM\geq\ HM[/tex] [tex]\longrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{HM}\geq\frac{1}{AM}[/tex]
Bene, dovrei quasi esserci, ora basta accoppiare ogni HM con la corrispondente AM, contando due volte ogni termine a sinistra, tanto abbiamo già visto che che contando solo [tex](a,b)[/tex] ci compare il DOPPIO del reciproco della media armonica.
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}[/tex]
[tex]\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{b+c}[/tex]
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+c}[/tex]
[tex]QED[/tex]
Con un ragionamento analogo si può dimostrare la seconda disuguaglianza, operando la sostituzione
[tex]a+b\longrightarrow A[/tex]
[tex]b+c\longrightarrow B[/tex]
[tex]a+c\longrightarrow C[/tex]
[tex]\frac{2}{A}+\frac{2}{B}+\frac{2}{C}\geq \frac{18}{A+B+C}[/tex]
divido entrambi i membri per 3 e ottengo
[tex]\frac{3}{HM_{ABC}}\geq \frac{3}{AM_{ABC}}[/tex] Vera per quanto dimostrato in precedenza
[tex]QED[/tex]
Spero di essermi espresso chiaramente e di non aver preso abbagli
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Doppia disuguaglianza
Errata corrige, quando ho scritto "divido entrambi i membri per 3" intendevo "2"
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Doppia disuguaglianza
Ok, giuste entrambe (una cosa sulla prima: hai spiegato a parole piuttosto bene quello che facevi, ma poi quando hai scritto le tre disuguaglianze hai preso i diviso 2)
Una riscrittura a volte utile di AM-HM, molto vicina alla seconda disuguaglianza, è $$\displaystyle\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}\right)\left(a_1+a_2+\dots+a_n\right)\ge n^2$$
P.S: puoi modificare il messaggio!
Una riscrittura a volte utile di AM-HM, molto vicina alla seconda disuguaglianza, è $$\displaystyle\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}\right)\left(a_1+a_2+\dots+a_n\right)\ge n^2$$
P.S: puoi modificare il messaggio!