Es. 21 gara squadre lunedì

[Archimede]

Ecco come promesso, con un pò di ritardo, il testo dell'esercizio 21 dell'allenamento della gara a squadre di lunedì:

Determinare la somma dei quadrati delle soluzioni dell'equazione [tex]x^2-18[x]+77=0[/tex] (dove con [tex][x][/tex] è indicata la parte intera del numero reale [tex]x[/tex]

[lucaboss98]

se fosse [tex]x^2 -18x + 77 = 0[/tex] avrei [tex]x= \dfrac{18+- \sqrt{324-308}}{2}= \dfrac{18+-4}{2}[/tex]
Quindi le soluzioni sono interi, ovvero [tex]11[/tex] e [tex]7[/tex] , quindi la somma dei quadrati è [tex]11^2 + 7^2 = 121+49=170[/tex]

[Triarii]

E chi ti dice che sono solo intere le soluzioni?

[lucaboss98]

Hai ragione, avevo pensato che [tex]x[/tex] doveva essere intero per un mio ragionamento, ma invece avevo detto che [tex]x^2[/tex] è intero.

[mr96]

Avendo già letto la soluzione ormai non posso più provare... Anche se non la ricordo perfettamente sono condizionato ahah

Grazie per averlo postato comunque

[Gizeta]

Fesseria, scusate...

[cip999]

Visto che ho partecipato all'allenamento di lunedì e la mia squadra non è riuscita a risolverlo (almeno credo... ), ci provo ora.

Sia [tex]d[/tex] la parte decimale di [tex]x[/tex] (vale a dire [tex]x-\left[x\right][/tex]). Allora la nostra equazione diventa:
[tex](\left[x\right]+d)^2-18\left[x\right]+77=0[/tex], che risolta in [tex]\left[x\right][/tex] è [tex]\left[x\right]=9-d\pm\sqrt{4-18d}[/tex].
Ora, perché [tex]\left[x\right][/tex] sia intero, deve valere la relazione
[tex]\sqrt{4-18d}=d+n[/tex]
per qualche [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex]. Risolvendo in [tex]d[/tex] (senza porre condizioni, tanto poi andremo a verificare) si ha
[tex]d=-n-9\pm\sqrt{18n+85}\;\;\;(1)[/tex]
Adesso, [tex]d[/tex] deve essere positivo o nullo e strettamente minore di [tex]1[/tex]. Quindi nell'equzione possiamo considerare solo il segno positivo della radice (perché in caso contrario si avrebbe sempre [tex]d[/tex] negativo). Inoltre, facendo alcune semplici prove, si osserva che gli unici valori possibili per [tex]n[/tex] sono quelli compresi nell'intervallo [tex]\left[-2;2\right][/tex] (naturalmente solo gli interi). Per [tex]n=-1, \: 0, \: 1[/tex] si ha, rispettivamente, [tex]d=\sqrt{67}-8, \: \sqrt{85}-9, \: \sqrt{103}-10[/tex], mentre per [tex]n=-2, \: 2[/tex] si ha [tex]d=\sqrt{49}-7=\sqrt{121}-11=0[/tex].
Sostituendo questi valori nella [tex](1)[/tex] si ottengono i possibili valori di [tex]\left[x\right][/tex], che in pratica corrispondono alle radici: [tex]\sqrt{67}, \: \sqrt{85}, \: \sqrt{103}, \: 7, \: 11[/tex].
Il valore cercato è dunque [tex]67+85+103+49+121=425[/tex].

[Archimede]

Mi sembra che la risposta fosse proprio quella