Polinomio dispari

[Drago]

Sia $p(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ un polinomio a coefficienti interi; inoltre $a_0$, $a_n$ e $p(1)$ sono dispari. Dimostrare che $p(x)$ non ha radici razionali.

[RenBerlin]

Puoi postare la soluzione?
Non ho idee so che da [tex]p(1)[/tex] dispari deriva che [tex]a_0+a_1+...+a_n[/tex] é dispari. Poi sfruttando [tex]a_0[/tex] e [tex]a_n[/tex] dispari non ho un idea ben precisa di come continuare.

[Drago]

Prova ad usare il teorema delle radici razionali, e soprattutto pensa a cosa significa che una somma è dispari (ovvero: quanti addendi pari e quanti dispari ci sono?)

[RenBerlin]

Somma dispari significa che c'è un numero dispari di coefficienti dispari e l'avevo già pensato prima, senza però capire davvero come usare questo dato.
Usando il teorema delle radici razionali arrivo invece che tutte le ipotetiche radici razionali sono o numeri dispari, o frazioni con numeratore e denominatore dispari.
Ti giuro ma sono bloccato.. Probabilmente sto facendo la figura del ritardato e ti chiedo scusa ma è un periodo in cui sto cercando di 'specializzarmi' in algebra olimpica e questo problema mi sembra rilevante

[b8dc4]

Bello questo problema! Così dovrebbe funzionare

Testo nascosto:

Suppongo per assurdo che [tex]\displaystyle \frac{p}{q}[/tex] sia una radice del polinomio con [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] interi coprimi. Per il teorema delle radici razionali [tex]p|a_0[/tex] e [tex]q|a_n[/tex], quindi [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] sono dispari in quanto dividono numeri dispari. Considero l'equazione [tex]\displaystyle a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\ldots+a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0[/tex] riscrivendola come [tex]\displaystyle a_n p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\ldots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0[/tex]. Il primo membro è una somma di interi la cui somma è [tex]0[/tex], un numero pari. Pertanto ci dovrà essere un numero pari di addendi dispari. Ma poiché [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] sono dispari la parità di un generico addendo [tex]a_ip^iq^{n-i}[/tex] dipende da quella del coefficiente [tex]a_i[/tex]. Pertanto ci dovrà essere un numero pari di coefficienti [tex]a_i[/tex] dispari. Ma visto che [tex]a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0=d[/tex], indicando con [tex]d[/tex] un generico numero dispari, deve esserci un numero dispari di coefficienti dispari. Ecco la contraddizione che invera la tesi

[Drago]

Esattamente!
Sono contento che ti sia piaciuto

@RenBerlin: come puoi notare non è propriamente algebra; direi che sia uno dei tanti algebrici con sapore di TdN (ne esistono anche al contrario)

[RenBerlin]

Si si ha molto sapore di TdN non avevo pensato a moltiplicare per [tex]q^n[/tex] così da togliere i denominatori .. Mi sento stupido ahaha ultimamente ne avevo visto uno simile molto carino dalle Balkan di quest'anno di TdN che usava le stesse idee (per come l'avevo fatto io)