SNS 2012.3

[nil]

Al variare di $n$ intero positivo si consideri il numero $s_n$ di sequenze crescenti di interi, alternativamente pari e dispari, che cominciano con $0$ e terminano con $n$. Per esempio per $n=3$ abbiamo le due sequenze
$$0,1,2,3\\0,3$$
Si trovi $s_n$. (Leggermente più difficile del testo originale)

Versione normale:

Testo nascosto:

Si dimostri che $s_n$ è tale che $s_{n+2}=s_{n+1}+s_n$ avendo $s_0=0$ , $s_1=1$.

[lucaboss98]

Credo basti dire che [tex]s_{n+2}[/tex] posso ottenerla in due modi: o prendo tutte quelle che terminano per [tex]n[/tex] e cambio la [tex]n[/tex] con [tex]n+2[/tex], in quanto hanno stessa parità, oppure prendo tutte quelle che terminano con [tex]n+1[/tex] e ci aggiungo [tex]n+2[/tex], in qunato hanno parità diversa.
Ora il secondo caso sono tutte quelle contenenti [tex]n+1[/tex], devo dimostrare che il primo caso sono tutte quelle senza [tex]n+1[/tex] , ed è vero poichè ho tutte le combinazioni possibili per arrivare a [tex]n[/tex] , e quindi tutti i possibili "cammini" precedenti a [tex]n+1[/tex].
Ne segue che [tex]s_{n+2}=s_{n+1}+s_n[/tex]

[nil]

Sì , pretty straightforward

[Lasker]

Beh, dai, qui la tesi dell'esercizio (versione normale-Normale, bel gioco di parole ) è quasi la dimostrazione, strano che sia un SNS! Il fatto in sé è invece carino, mi sa che è anche apparso in una gara a squadre (con i "pianeti" numerati fino a $19$, può essere?)

[Gizeta]

Probabilmente è la stessa già postata, ma: date le sequenze di [tex]s_n[/tex] ottengo parte di quelle di [tex]s_{n+1}[/tex] aggiungendo l'[tex]n+1-esimo[/tex] numero alle stringe precedenti, l'altra parte si ottiene invece considerando il numero precedente al [tex]n-esimo[/tex] avente la stessa parità [che, se si va a vedere, non era possibile prendere nelle sequenze di [tex]s_n[/tex] (escludendo quella in cui sono presenti tutti i numeri)], ma le sequenze che contengono tale numero sono uguali a quelle che arrivano fino a [tex]{n-1}[/tex] in cui scambiamo [tex]n-1[/tex] con [tex]n+1[/tex], abbiamo dunque la tesi.

Come al solito mi sarò spiegato da cani e non si sarà capito nulla