Media

[iTz_CaBe_95]

Sia P una n-upla di numeri reali e m la loro media aritmetica.
Si aggiunge a P il numero a, formando la n+1-upla P', scegliendolo in modo tale che la media aritmetica dei numeri in P' sia m'=2m. Dopodichè si aggiunge il numero b a P', formando la n+2-upla P'', scegliendolo in modo tale che la media aritmetica dei numeri in P'' sia m''=2m'.
Si prosegue così, aggiungendo gradualmente numeri alla n+i-upla formando la n+i+1-upla, in modo che la nuova media sia il doppio della precedente.

Determinare, dopo l'aggiunta di k elementi, la media dei k elementi AGGIUNTI (che prima non c'erano) in funzione esclusivamente di m,n e k

[Livex]

di solito per questi problemi di media di un numero k di elementi indeterminati conviene costruirsi la successione prendendo i termini in incognite diverse
per esempio ora si ha che....

[tex]\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+......+x_n}{n}=m[/tex]

andiamo ad aggiungere il primo elemento

[tex]\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+......+x_n+x_a}{n+1}=2m[/tex]

aggiungiamone un altro

[tex]\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+......+x_n+x_a+x_b}{n+2}=4m[/tex]

si nota facilmente che (essendo k il numero di elementi aggiunti) il denominatore varia in funzione [tex]n+k[/tex] ,e la parte a destra,siccome raddoppia ogni volta,segue l'andamento delle potenze di 2,sara quindi [tex]2^{k}m[/tex] ,ora si generalizza....

[tex]\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+.......+x_n+x_a+x_b+.....x_k}{n+k}=2^{k}m[/tex] (ovviamente i termini [tex]x_a,x_b.....x_k[/tex] sono [tex]k[/tex] e non sono intesi in ordine alfabetico)

Sia ora [tex]s=x_a+x_b......+x_k[/tex]

allora [tex]s=(n+k)2^{k}m-(x_1+x_2+x_3......+x_n)[/tex]

si divide ambo i membri per [tex]n[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{s}{n}=\frac{(n+k)2^{k}m}{n}-m[/tex] (si ottiene [tex]m[/tex] perche se dividiamo per [tex]n[/tex] otteniamo la media iniziale)

ora moltiplichiamo per [tex]n[/tex](questo passaggio si poteva anche evitare, ma a scanso di equivoci..)

[tex]\displaystyle s=(n+k)2^{k}m-mn[/tex]

a questo punto svolgendo i conti...

[tex]\displaystyle s=2^{k}mn+2^{k}mk-mn[/tex]

se ora dividiamo [tex]s[/tex] per [tex]k[/tex] otteniamo la media cercata,facciamolo...

[tex]\displaystyle \frac{s}{k}=\frac{(2^{k}-1)mn}{k}+2^{k}m[/tex]

giusto vero?

[Drago]

Per i pedici: avresti potuto chiamare i termini aggiunti $\displaystyle x_{n+1}, x_{n+2},\dots,x_{n+k}$

[iTz_CaBe_95]

Penso abbia scelto a e b per essere coerente con il testo, va bene:)

[Drago]

Ad essere precisi nel testo c'è scritto che aggiungi $a$ e $b$, quindi con $x_{n+1}=a$ e $x_{n+2}=b$ si è a posto...
Comunque sono sottigliezze sulla notazione... xD

[iTz_CaBe_95]