Problema 24 della gara a squadre
Problema 24 della gara a squadre
Dato il polinomio $x^3-7x+7$ trovare le prime quattro cifre decimali di $(3a-4)(3a-5)(3c-3b-1)$ dove $a<b<c$ sono le radici del polinomio.
Re: Problema 24 della gara a squadre
Si verifica che, detto $p(x)=x^3-7x+7$, vale \[ p \left ( \frac {5x-7}{3x-4} \right )=-\frac {1}{(3x-4)^3} p(x):\] questo implica che la trasformazione $x \mapsto \frac {5x-7}{3x-4}$ permuta le radici di $p$; in particolare, con facili disuguaglianze, si trova che $\frac {5a-7}{3a-4}=c, \frac {5c-7}{3c-4}=b, \frac {5b-7}{3b-4}=a$. Sostituendo questi valori per $b$ e $c$ nell'espressione del testo si trova $(3a-4)(3a-5)(3c-3b-1)=1$.
Commento. Con metodi più avanzati (teoria di Galois) si possono classificare i polinomi cubici per cui esiste una trasformazione di Möbius con coefficienti razionali che permuta l'insieme delle radici: sono tutti e soli quelli il cui discriminante è un quadrato perfetto.
Commento. Con metodi più avanzati (teoria di Galois) si possono classificare i polinomi cubici per cui esiste una trasformazione di Möbius con coefficienti razionali che permuta l'insieme delle radici: sono tutti e soli quelli il cui discriminante è un quadrato perfetto.
Re: Problema 24 della gara a squadre
Quale tecnica è stata usata per trovare la sostituzione magica: $x \mapsto\frac {5x-7}{3x-4}$ ?
Re: Problema 24 della gara a squadre
La relazione non è ciclica né simmetrica né niente: l'unica speranza di dimostrare una tale identità è legare tra loro in qualche modo le radici. Un tale tipo di relazione può essere una trasformazione razionale: se $\mathbb P^1$ è la retta proiettiva, la sostituzione $\chi$ di $\text{SL}(2, \mathbb Z)$ come automorfismo di $\mathbb P^1$ soddisfa $\chi^3 = \mathbb 1$ ed è unicamente determinata dalle sue immagini in tre punti distinti. Da qui non ci vuole molto a trovare quella che ho scritto, sapendo come dev'essere fatta.
Comunque, dato un polinomio cubico $p \in \mathbb Q [x]$ con zeri distinti, esiste un'unica trasformazione di Möbius $\chi \in T(x)$ che ne permuta le radici, dove $T(x)$ è il campo di spezzamento di $p$. Per $\rho \in \text{Gal}(T/\mathbb Q)$, l'azione di $^\rho \chi$ sui tre zeri si ottiene coniugando $\chi$ con la permutazione degli zeri data da $\rho$, ovvero $^\rho \chi=\chi$ per ogni $\chi \in \text{Gal}(T/\mathbb Q)$ se e solo se $\text{Gal}(T/\mathbb Q)$ è contenuta nel sottogruppo ciclico (di ordine $3$) delle permutazioni degli zeri. Da qui si arriva facilmente al risultato che ho menzionato nel commento precedente.
Commento. Per un altro problema di questo tipo, ma più semplice, vedi gli appunti dello stage Senior Advanced 2012.
Comunque, dato un polinomio cubico $p \in \mathbb Q [x]$ con zeri distinti, esiste un'unica trasformazione di Möbius $\chi \in T(x)$ che ne permuta le radici, dove $T(x)$ è il campo di spezzamento di $p$. Per $\rho \in \text{Gal}(T/\mathbb Q)$, l'azione di $^\rho \chi$ sui tre zeri si ottiene coniugando $\chi$ con la permutazione degli zeri data da $\rho$, ovvero $^\rho \chi=\chi$ per ogni $\chi \in \text{Gal}(T/\mathbb Q)$ se e solo se $\text{Gal}(T/\mathbb Q)$ è contenuta nel sottogruppo ciclico (di ordine $3$) delle permutazioni degli zeri. Da qui si arriva facilmente al risultato che ho menzionato nel commento precedente.
Commento. Per un altro problema di questo tipo, ma più semplice, vedi gli appunti dello stage Senior Advanced 2012.
Re: Problema 24 della gara a squadre
Questa è considerata matematica elementare!enigma ha scritto:La relazione non è ciclica né simmetrica né niente: l'unica speranza di dimostrare una tale identità è legare tra loro in qualche modo le radici. Un tale tipo di relazione può essere una trasformazione razionale: se $\mathbb P^1$ è la retta proiettiva, la sostituzione $\chi$ di $\text{SL}(2, \mathbb Z)$ come automorfismo di $\mathbb P^1$ soddisfa $\chi^3 = \mathbb 1$ ed è unicamente determinata dalle sue immagini in tre punti distinti. Da qui non ci vuole molto a trovare quella che ho scritto, sapendo come dev'essere fatta.
Comunque, dato un polinomio cubico $p \in \mathbb Q [x]$ con zeri distinti, esiste un'unica trasformazione di Möbius $\chi \in T(x)$ che ne permuta le radici, dove $T(x)$ è il campo di spezzamento di $p$. Per $\rho \in \text{Gal}(T/\mathbb Q)$, l'azione di $^\rho \chi$ sui tre zeri si ottiene coniugando $\chi$ con la permutazione degli zeri data da $\rho$, ovvero $^\rho \chi=\chi$ per ogni $\chi \in \text{Gal}(T/\mathbb Q)$ se e solo se $\text{Gal}(T/\mathbb Q)$ è contenuta nel sottogruppo ciclico (di ordine $3$) delle permutazioni degli zeri. Da qui si arriva facilmente al risultato che ho menzionato nel commento precedente.
Commento. Per un altro problema di questo tipo, ma più semplice, vedi gli appunti dello stage Senior Advanced 2012.
Re: Problema 24 della gara a squadre
No, non l'ho mai scritto. Il come ho trovato la sostituzione è facile: ho impostato un sistema e risolto per i coefficienti della trasformazione. Questo è il perché di tale "miracolosa" soluzione, che non si suppone essere al livello di un normale partecipante della gara, e spiega il motivo che sta dietro.wall98 ha scritto: Questa è considerata matematica elementare!
Re: Problema 24 della gara a squadre
Ah ok,bene mi stavo cominciando a preoccupare
Comunque non voleva essere una critica,era solo per sapere visto che se questa fosse stata matematica elementare,io non avrei potuto risolvere problemi tipo questo...
Comunque non voleva essere una critica,era solo per sapere visto che se questa fosse stata matematica elementare,io non avrei potuto risolvere problemi tipo questo...
Re: Problema 24 della gara a squadre
Il problema è elementare: la soluzione la capisce anche un bambino.wall98 ha scritto:Comunque non voleva essere una critica,era solo per sapere visto che se questa fosse stata matematica elementare,io non avrei potuto risolvere problemi tipo questo...
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iTz_CaBe_95
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Re: Problema 24 della gara a squadre
Bhè sicuramente tutti i normalissimi bambini la capirebbero, ad esempio lui l'avrebbe capita http://www.windoweb.it/guida/scienze/sc ... tein_1.jpgenigma ha scritto:Il problema è elementare: la soluzione la capisce anche un bambino.wall98 ha scritto:Comunque non voleva essere una critica,era solo per sapere visto che se questa fosse stata matematica elementare,io non avrei potuto risolvere problemi tipo questo...
Re: Problema 24 della gara a squadre
Faccio una lista delle parole/teoremi/notazioni che non conosco...
relazione ciclica
trasformazione razionale
da se p1 è la retta proiettiva a in tre punti distinti
da comunque dato un polinomio cubico a sottogruppo ciclico di ordine 3 delle permutazione degli zeri (radici so cosa significa)
per uno che non conosce questi termini non è proprio facile capire,penso che anche Gauss avrebbe avuto qualche problema!(ovviamente da bambino!
)
relazione ciclica
trasformazione razionale
da se p1 è la retta proiettiva a in tre punti distinti
da comunque dato un polinomio cubico a sottogruppo ciclico di ordine 3 delle permutazione degli zeri (radici so cosa significa)
per uno che non conosce questi termini non è proprio facile capire,penso che anche Gauss avrebbe avuto qualche problema!(ovviamente da bambino!
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