Strette di mano
Strette di mano
8 persone sono state invitate a una festa. Ognuna di loro decide di stringere la mano a sole altre due persone durante la festa. Alla fine della festa in quanti modi possibili possono essere state le strette di mani?
Re: Strette di mano
Ogni persona, poiché ha stretto la mano a esattamente 2 persone distinte, può essere pensata come un vertice di un poligono, in quanto ogni vertice è collegato esattamente ad altri due vertici. Con 8 persone (suppongo che le persone in totale siano 8, anche se, visto che sono state tutte invitate, alla festa ci dovrà essere anche colui che le ha invitate 
) si possono formare:
a) un ottagono
b) un pentagono e un triangolo
c) due quadrilateri
Caso a: in questo caso bisogna calcolare in quanti modi diversi è possibile chiamare i vertici dell'ottagono. Bisogna cioè calcolare le disposizioni di 8 elementi e dividere tale risultato per 8 (questa divisione deriva dal fatto che, ruotando l'ottagono, si possono ottenere 8 configurazioni analoghe. Ad esempio ABCDEFGH è analoga a BCDEFGHA, CDEFGHAB, ecc.) e per 2 (la simmetrica di una situazione non è diversa dalla situazione stessa. Ad esempio ABCDEFGH è analogo a HGFEDCBA). Le strette di mano sono quindi [tex]\displaystyle\frac{8!}{8\cdot2}=2520[/tex].
Caso b: attraverso un ragionamento analogo al precedente, le strette di mano sono [tex]\displaystyle\frac{8!}{3!\cdot5\cdot2}\cdot\frac{3!}{3\cdot2}=672\cdot1=672[/tex].
Caso c: le strette di mano sono [tex]\displaystyle\frac{8!}{4!\cdot4\cdot2}\cdot\frac{4!}{4\cdot2}=210\cdot3=630[/tex].
In totale i diversi modi di effettuare le strette di mano sono quindi [tex]2520+672+630=3822[/tex].
) si possono formare:a) un ottagono
b) un pentagono e un triangolo
c) due quadrilateri
Caso a: in questo caso bisogna calcolare in quanti modi diversi è possibile chiamare i vertici dell'ottagono. Bisogna cioè calcolare le disposizioni di 8 elementi e dividere tale risultato per 8 (questa divisione deriva dal fatto che, ruotando l'ottagono, si possono ottenere 8 configurazioni analoghe. Ad esempio ABCDEFGH è analoga a BCDEFGHA, CDEFGHAB, ecc.) e per 2 (la simmetrica di una situazione non è diversa dalla situazione stessa. Ad esempio ABCDEFGH è analogo a HGFEDCBA). Le strette di mano sono quindi [tex]\displaystyle\frac{8!}{8\cdot2}=2520[/tex].
Caso b: attraverso un ragionamento analogo al precedente, le strette di mano sono [tex]\displaystyle\frac{8!}{3!\cdot5\cdot2}\cdot\frac{3!}{3\cdot2}=672\cdot1=672[/tex].
Caso c: le strette di mano sono [tex]\displaystyle\frac{8!}{4!\cdot4\cdot2}\cdot\frac{4!}{4\cdot2}=210\cdot3=630[/tex].
In totale i diversi modi di effettuare le strette di mano sono quindi [tex]2520+672+630=3822[/tex].