In Germania colorano gli interi positivi

[lucaboss98]

Supponiamo di colorare tutti gli interi positivi di due colori ( $\mathbb{A}$ e $\mathbb{B}$ ) in modo che , presi tre interi qualunque (anche ripetuti) dello stesso colore anche la loro somma sia di tale colore. Determinare tutte le siffatte colorazioni.

[Federico II]

Soluzione:

Testo nascosto:

Le uniche possibilità sono che tutti gli interi sono di un solo colore e che i pari sono di un colore e i dispari dell'altro. Supponiamo che $1$ sia di un certo colore $X$ (con $X=\mathbb{A}$ oppure $X=\mathbb{B}$ indifferentemente), e chiamiamo $Y$ l'altro colore. Dimostriamo per induzione che tutti i numeri dispari sono colorati di $X$. Il passo base (il caso del numero $1$) è vero perché $1$ è colorato di $X$. Ora, se per qualche $k\in\mathbb{N}$ si ha che $2k+1$ è colorato di $X$, deve esserlo anche $2k+3$ in quanto $2k+3=(2k+1)+1+1$, cioè è somma di tre numeri colorati di $X$, quindi anche il passo induttivo è dimostrato. Ora distinguiamo due casi: il numero $2$ è colorato di $X$, oppure di $Y$. Nel primo caso con un'induzione analoga sui pari si dimostra che tutti i pari sono $X$, quindi tutti i numeri sono $X$, cioè tutti dello stesso colore (non importa se $\mathbb{A}$ o $\mathbb{B}$). Nel secondo caso il numero $6$ è colorato di $Y$ perché esprimibile come $2+2+2$, che sono $Y$. Se il $4$ fosse $X$ avremmo un assurdo perché $4+1+1=6$, ma tre numeri di colore $X$, se sommati, non possono dare un numero di colore $Y$. Quindi anche il $4$ è $Y$. Dimostriamo ora per induzione che tutti i pari sono colorati di $Y$. Come passo base verifichiamolo per $2$ e $4$. In questi due casi si ha sempre che l'intero preso in considerazione è di colore $Y$ per quanto detto prima. Come passo induttivo dimostriamo che se un certo $2k$ con $k\in\mathbb{Z^+}$ è di colore $Y$ allora lo è anche $2k+4$: così facendo dimostreremo che tutti i pari sono $Y$. Abbiamo $2k+4=2k+2+2$, quindi è somma di tre numeri $Y$ e quindi è $Y$, e il passo induttivo è dimostrato. Quindi tutti i pari sono di un coloree tutti i dispari dell'altro. In conclusione abbiamo quattro colorazioni possibili:
1) Tutti i numeri di colore $\mathbb{A}$
2) Tutti i numeri di colore $\mathbb{B}$
3) Tutti i pari di colore $\mathbb{A}$ e tutti i dispari $\mathbb{B}$
4) Tutti i pari di colore $\mathbb{B}$ e tutti i dispari $\mathbb{A}$
Queste colorazioni rispettano le ipotesi: le prime due banalmente, le altre due perché la somma di tre numeri pari è sempre pari e la somma di tre numeri dispari è sempre dispari. Questo conclude la dimostrazione.

[Federico II]

Uh, allora? Giusta o sbagliata? Quanti punti? XD

[lucaboss98]

è giusta ovviamente..

[LuFra_99]

Uh, allora? Giusta o sbagliata? Quanti punti? XD

scusa ma secondo me c'è un'imprecisione
le prime due soluzioni non sono tali.

Il testo diceva "Supponiamo di colorare tutti gli interi positivi di due colori ( A e B ) "; dunque non puoi colorare tutti gli interi con un solo colore , ne devi usare due

[Federico II]

Ehm, sei sicuro? Il testo non dice che bisogna usarli entrambi e non dice nemmeno che ci deve essere almeno un intero per ogni colore, comunque se fosse come dici basterebbe dire che non sono accettabili e prendere quindi solo le altre due.

[lucaboss98]

Ovviamente sono accettabili..

[LuFra_99]

Ehm, sei sicuro? Il testo non dice che bisogna usarli entrambi e non dice nemmeno che ci deve essere almeno un intero per ogni colore, comunque se fosse come dici basterebbe dire che non sono accettabili e prendere quindi solo le altre due.

può darsi che tu abbia ragione
a me, però, sembra che "Supponiamo di colorare tutti gli interi positivi di due colori ( A e B )" voglia dire che si devono usare entrambi i colori non so...