Ho sbagliato sezione?

[Giovanni98]

Sia $n$ un intero dispari e siano $x_1,x_2,\cdots,x_n$ numeri reali non negativi. Dimostrare che $$\min_{i=1,2,\cdots,n} (x_i^2 + x_{i+1}^2) \leq \max_{i=1,2,\cdots,n} (2x_ix_{i+1})$$

[Rho33]

Sto sbagliando di grosso oppure il problema è falso?

Innanzitutto non capisco a che servono $\min $ e $\max $ , inoltre stai dicendo sostanzialmente che $QM \leq GM $ o più semplicemente $(x_i-x_{i+1})^2 \leq 0 $ che è falso ( può essere soltanto uguale a zero)

[Veritasium]

Sto sbagliando di grosso oppure il problema è falso?

Innanzitutto non capisco a che servono $\min $ e $\max $ , inoltre stai dicendo sostanzialmente che $QM \leq GM $ o più semplicemente $(x_i-x_{i+1})^2 \leq 0 $ che è falso ( può essere soltanto uguale a zero)

Credo tu abbia appunto sbagliato a interpretare il significato di [tex]min[/tex] e [tex]max[/tex], che variano indipendentemente l'uno dall'altro tra gli [tex]x_i, x_{i + 1}[/tex]. Comunque la tesi non è falsa, essendo EGMO2016/1

[Rho33]

Mhh, ma il testo è diverso http://artofproblemsolving.com/communit ... 74p6171538 , a destra come indice c'è $j$ !

Oppure continuo a sbagliare e non importano gli indici ?

[Veritasium]

È palese che Giovanni abbia messo gli indici senza pensare che potessero confondersi, ma appunto mi sembra che la richiesta sia comunque ovvia

[Rho33]

Bu, la mia domanda sorgeva appunto dall'interpretazione del testo. Con gli indici messi in questo modo ( diverso dall'originale), il problema dovrebbe essere: prendo $n$ reali positivi ( con $n$ dispari) , ne prendo due qualunque e devo dimostrare che che la somma dei quadrati è $\leq $ al loro doppio prodotto.

Capisci bene che non ha senso definire il massimo ed il minimo perchè se ne scelgo due tali che la somma dei quadrati sia minima, chiaramente il loro doppio prodotto è univocamente determinato! Sto ancora sbagliando ad interpretare oppure gli indici contano eccome ? Dall'ultimo messaggio, ammetto di non avere capito.

[Veritasium]

Bu, la mia domanda sorgeva appunto dall'interpretazione del testo. Con gli indici messi in questo modo ( diverso dall'originale), il problema dovrebbe essere: prendo $n$ reali positivi ( con $n$ dispari) , ne prendo due qualunque e devo dimostrare che che la somma dei quadrati è $\leq $ al loro doppio prodotto.

Capisci bene che non ha senso definire il massimo ed il minimo perchè se ne scelgo due tali che la somma dei quadrati sia minima, chiaramente il loro doppio prodotto è univocamente determinato! Sto ancora sbagliando ad interpretare oppure gli indici contano eccome ? Dall'ultimo messaggio, ammetto di non avere capito.

Appunto, semplicemente Giovanni ha scritto i invece che j! È chiaro che il problema non può essere come dici tu, che senso avrebbe introdurre la notazione e tutto per una tesi palesemente errata?

[Rho33]

Ok, esatto, allora siamo d'accordo !

[bern1-16-4-13]

Quindi Rho33, fammi capire una cosa: allora come interpreteresti qualcosa tipo $$\left(\sum_{i=1}^{10}i\right)+\left(\sum_{i=1}^{11}i^2\right)?$$

L'uso dello stesso indice NON è assolutamente un problema in questi casi perché la $i$ non è un'incognita vera e propria, è soltanto usata per definire la sommatoria. Stesso discorso per la notazione che ha usato Giovanni.
Secondo me meno lettere si tirano fuori (ovviamente laddove è possibile senza confondere chi legge) e meglio è, specialmente nella soluzione di problemi lunghi (anche se chiaramente non è questo il caso).

[Rho33]

@Bern: Allora, nel tuo esempio capisco benissimo come viene usata la $i$ ! Quello che mi fa confondere nel problema, ed evidentemente sbaglio in questo, é: scelgo due reali positivi tali che la somma dei loro quadrati sia minima , WLOG $x_1,x_2$ , devo dimostrare che $x_1^2+x_2^2 \leq 2x_1x_2 \iff (x_1-x_2)^2 \leq 0 $ che è falso . Cioè, se uso lo stesso indice, non ha senso introdurre tutta la notazione, a meno che non si espliciti che le due $i$ usate sono diverse(?) , ma allora usiamo due simboli diversi per indicarle. Ora, cosa c'è che non quadra in ciò che ho appena scritto? Grazie mille per l'aiuto !