Problemone...

[Saro00]

Qualcuno mi hinta questo.
Data una superficie di area [tex]< 1[/tex] nel piano cartesiano, dimostrare che é possibile muoverla in modo che non contenga punti a coordinate intere.

[bern1-16-4-13]

Premetto che non so se è proprio lecita la mia dimostrazione, però io proverei qualcosa tipo "prendiamo un punto della superficie e consideriamo tutte le configurazioni che si ottengono traslando questo punto (e di conseguenza anche la nostra superficie) all'interno di un quadratino (senza considerare parte interna del quadratino il lato ovest e il lato nord, loro vertici compresi)". Si può dire che ogni punto della superficie coincide con un punto a coordinate intere in una e una sola delle traslazioni. In base a questo è possibile che siano tutte configurazioni "non accettabili"?

[Saro00]

Avevo provato a fare ragionamenti di questo tipo, ma non ero riuscito a concludere niente...

[bern1-16-4-13]

neanche adesso?

hint 2:

Testo nascosto:

poiché stiamo effettuando solo traslazioni (e non rotazioni) possiamo dire $WLOG$ tutti i punti della superficie sono interni a un unico quadratino?

[alexthirty]

Si può dire che ogni punto della superficie coincide con un punto a coordinate intere in una e una sola delle traslazioni.

Non so se non ho capito bene il senso io... Ma questo non mi convince

[bern1-16-4-13]

ti propongo un esempio abbastanza analogo: se abbiamo una scacchiera dove sono colorati tutti e soli i quadratini con coordinate multiple di $10$, allora ogni quadrato $10\times 10$ conterrà esattamente un quadratino colorato.

[Backbuona]

Anche io ho un dubbio su quello che dice bern, non potresti anche avere un rettangolo di altezza piccolissima e lato grandissimo che se tratti come "un oggetto rigido" non puoi far entrare in solo un quadratino?
ora in questo caso non ci sono problemi, la cosa che non mi torna è se questa cosa si può fare con superfici particolarmente strane

[lucaboss98]

So che spoilero come dimostrare un hint, ma visto che pare che ci siano dubbi sul fatto che esso sia vero,
Provo a spiegare io il perchè :
Diciamo che $a==b$ iff $\{a \} = \{ b\}$. (Ed analogamente $(x,y)==(z,w)$)
Ora traslando solo abbiamo che , dopo aver spostato la figura si ha che , dati due punti $P,Q$ , si ha che $P==Q$ iff $P'==Q'$ e quindi $P$ sta su un Lattice Point iff $Q$ sta su un Lattice Point. Allora se io ho due punti che "coincidono col doppio uguale" allora posso supporre che WLOG siano lo stesso punto , oppure analogamente scambiare un punto con un'altro "uguale doppio" a lui. Ovvero WLOG stanno tutti in uno stesso quadrato $ 1 \times 1$.
Spero sia chiaro.

[bern1-16-4-13]

grazie luca!!

E poi per rendere ulteriore chiarezza per far tornare la dimostrazione occorre un po' "trattare con i guanti" l'espressione "punti interni a un quadratino".
Per non crearsi troppi problemi poi in seguito, è bene precisare che

non si considera parte interna del quadratino il lato ovest e il lato nord, loro vertici compresi

[Drago]

Ovvero, stiamo lavorando su un toro!
Altro modo di vederla: prendi la tua superficie, tagliala lungo la griglia delle coordinate intere, e riunisci tutti i pezzettini in un unico quadratino...

A questo punto è facile concludere no?