Double counting

[Rho33]

Ecco a voi una bella lista di identità da dimostrare rigorosamente con dimostrazioni di combinatoria pura! Devo dire che ho impiegato una frazione non trascurabile degli ultimi due giorni a pensarci su (ovviamente non quelle banali)

$n \binom {n-1}{k-1}=k \binom {n}{k}$

$\sum _{k=1}^n k \binom {n}{k}=?$

$\sum _{k=1}^n k^2 \binom {n}{k}=?$

$\binom {n}{k}+ \binom {n}{k+1}=\binom {n+1}{k+1}$

$\binom {2n}{n}=2 \binom {n}{2}+n^2$

$\binom {2n+2}{n+1}=\binom {2n}{n+1}+2\binom {2n}{n}+\binom {2n}{n-1}$

$\sum _{k=0}^n \binom {n}{k}^2=?$

$\sum _ {d \mid n} \varphi (d)=?$

$\sum _{k=0}^r \binom {m}{k} \binom {n}{r-k}=?$