Double counting
Inviato: 26/04/2016, 23:48
Ecco a voi una bella lista di identità da dimostrare rigorosamente con dimostrazioni di combinatoria pura! Devo dire che ho impiegato una frazione non trascurabile degli ultimi due giorni a pensarci su (ovviamente non quelle banali) 
$n \binom {n-1}{k-1}=k \binom {n}{k}$
$\sum _{k=1}^n k \binom {n}{k}=?$
$\sum _{k=1}^n k^2 \binom {n}{k}=?$
$\binom {n}{k}+ \binom {n}{k+1}=\binom {n+1}{k+1}$
$\binom {2n}{n}=2 \binom {n}{2}+n^2$
$\binom {2n+2}{n+1}=\binom {2n}{n+1}+2\binom {2n}{n}+\binom {2n}{n-1}$
$\sum _{k=0}^n \binom {n}{k}^2=?$
$\sum _ {d \mid n} \varphi (d)=?$
$\sum _{k=0}^r \binom {m}{k} \binom {n}{r-k}=?$
$n \binom {n-1}{k-1}=k \binom {n}{k}$
$\sum _{k=1}^n k \binom {n}{k}=?$
$\sum _{k=1}^n k^2 \binom {n}{k}=?$
$\binom {n}{k}+ \binom {n}{k+1}=\binom {n+1}{k+1}$
$\binom {2n}{n}=2 \binom {n}{2}+n^2$
$\binom {2n+2}{n+1}=\binom {2n}{n+1}+2\binom {2n}{n}+\binom {2n}{n-1}$
$\sum _{k=0}^n \binom {n}{k}^2=?$
$\sum _ {d \mid n} \varphi (d)=?$
$\sum _{k=0}^r \binom {m}{k} \binom {n}{r-k}=?$