Testo nascosto:
Cese 2013, 3
Cese 2013, 3
Ogni numero intero viene colorato con uno di due colori, rosso o blu. Sappiamo che, per ogni insieme finito [tex]\mathbb A[/tex] di interi consecutivi, il valore assoluto della differenza tra il numero degli interi rossi e il numero degli interi blu nell’insieme [tex]\mathbb A[/tex] è al piu 1000. Dimostrare che esiste un insieme di 2000 interi consecutivi fra i quali ci sono esattamente 1000 numeri rossi e 1000 numeri blu.
Re: Cese 2013, 3
Ho provato a fare questo problema e ho avuto un'idea di risoluzione che (per quanto ho potuto constatare) è diversa da quella citata, tranne forse nei passi finali. Non so se è giusta ma la posto per sapere che ve ne pare.
Avendo 2000 numeri consecutivi (indipendentemente da quali essi siano) possono essere raggruppati in due insiemi che hanno questa forma \(R={a_1,a_{2000},a_3,a_{1998},...,a_{999},a_{1002}}\)
\(B={a_2,a_{1999},a_4,a_{1997},...,a_{1000},a_{1001}}\)
Questi 2 insiemi hanno entrambi 1000 elementi e essi sono stati scelti per l'insieme R accoppiando il primo con l'ultimo e in generale i posti dispari fino a 999 con quelli pari \(>1000\) e tutti gli altri nell'insieme B. La loro somma perciò è uguale in quanto:
1) è noto che in un insieme di \(n\) numeri consecutivi \(1+n=2+n-1=3+n-2=n+1\)
2) essendo 2000 divisibile per 4 ci sono un numero pari di coppie e quindi le si può dividere nei 2 insiemi sopra citati.
Essendo la somma uguale la differenza tra i 2 insiemi sarà uguale a \(0 < 1000\)
Avendo 2000 numeri consecutivi (indipendentemente da quali essi siano) possono essere raggruppati in due insiemi che hanno questa forma \(R={a_1,a_{2000},a_3,a_{1998},...,a_{999},a_{1002}}\)
\(B={a_2,a_{1999},a_4,a_{1997},...,a_{1000},a_{1001}}\)
Questi 2 insiemi hanno entrambi 1000 elementi e essi sono stati scelti per l'insieme R accoppiando il primo con l'ultimo e in generale i posti dispari fino a 999 con quelli pari \(>1000\) e tutti gli altri nell'insieme B. La loro somma perciò è uguale in quanto:
1) è noto che in un insieme di \(n\) numeri consecutivi \(1+n=2+n-1=3+n-2=n+1\)
2) essendo 2000 divisibile per 4 ci sono un numero pari di coppie e quindi le si può dividere nei 2 insiemi sopra citati.
Essendo la somma uguale la differenza tra i 2 insiemi sarà uguale a \(0 < 1000\)