Riconduciamo il problema alla teoria dei grafi ( chiaramente le persone sono i vertici e le amicizie sono gli archi).
a) Scelgo uno dei $6$ vertici e lo chiamo $A$ . Consideriamo i restanti $5$ vertici, si possono verificare due configurazioni possibili:
$\bullet$ $A$ è collegato ad almeno tre vertici.
$\bullet $ $A$ non è collegato ad almeno tre vertici.
Le precedenti affermazioni sono una semplice conseguenza del pigeonhole: ho $5$ piccioni in $2$ scatole, allora vi sarà una scatola con almeno $3$ piccioni.
WLOG Siamo nella prima situazione, la seconda è analoga. Questi tre vertici li chiamiamo $B,C,D$ . Allora distinguiamo due sotto casi:
$\bullet$ Almeno due tra $B,C,D$ sono collegati tra loro, allora insieme al vertice $A$ formano un triangolo di amicizie.
$ \bullet $ $B,C,D$ sono indipendenti tra loro e quindi formano un triangolo di non-amicizie.
b) Scelgo $n=4$ ed $c=3$ . Considero un quadrato ( o anche un quadrilatero), esso non ha triangoli di amicizie e nemmeno non-triangoli . Quindi non è vero che esiste sempre quel gruppo di $c$ persone.
Ho però un dubbio sulla tesi b), non si deve intendere come generalizzazione della tesi a) giusto ? Perché $3 \leq \sqrt 6 +1 $ . In caso contrario, anche un pentagono va bene .
