Raddrizziamo la griglia, e notiamo che si creano delle "scale" di sole mattonelle orizzontali o verticali. Togliamo i confini tra le mattonelle che fanno parte della stessa scala. Restiamo con delle scale, appunto, che supponiamo andare in direzione alto-sinistra/basso-destra (basterebbe aver ruotato l'immagine nell'altro senso per averle nell'altra direzione) . Osserviamo che qualsiasi quadrato
[tex]n\times n[/tex] attraversa
[tex]n[/tex] scale, questo perché nella sua diagonale alto-destra/basso-sinistra, composta da
[tex]n[/tex] quadratini, ogni quadratino fa parte di una scala diversa. Quindi possiamo dividere il quadrato in
[tex]n[/tex] parti diverse, a seconda della scala a cui appartengono i suoi quadratini. Adesso notiamo che ognuna di queste parti confina con l'esterno su due lati, con due quadratini per lato. Perché? Supponiamo che non sia così e lavoriamo sul lato di sinistra, che tanto è uguale per gli altri lati. Per come sono fatte le scale, per ogni quadratino anche il quadratino sopra o sotto fa parte della scala, che quindi confina su due quadratini, a meno che il quadratino sopra (o sotto) non sia esterno, ma allora quadratino di destra è pure sul confine. L'unica possibile eccezione è che il quadratino sia l'unico a far parte della sua scala, essendo quindi sul vertice in alto a destra o in basso a sinistra. Ma in ogni caso divide in due la mattonella di cui fa parte, quindi ci va bene. Ovviamente i due confini delle scale sono su due lati che sono o sinistra e sotto, o destra e sopra. I due confini sono quindi perpendicolari e, a seconda dell'orientamento delle mattonelle della scala, solo quello orientato diversamente la intersecherà. Ma avevamo
[tex]n[/tex] scale in un quadrato, quindi avremo
[tex]n[/tex] mattonelle tagliate a metà.
Notiamo che la tesi è vera per qualsiasi orientamento che scegliamo per le mattonelle in una scala, e non questo in particolare.
Devo scrivere decisamente dimostrazioni più corte.
(E rispondere a problemi meno vecchi lol)
