Qualcuno, agendo in assoluta segretezza, ha aiutato Federico a risolvere il solitario di Marco, ma quest'ultimo non è contento: avrà la sua vendetta per tutte le gufate fattegli e anche per quelle che gli saranno fatte!
Marco decide quindi di rapire Federico e di rinchiuderlo in una gabbia speciale. Federico NON SA come funziona la gabbia (quindi non può risolvere il problema), ma voi sì (ve lo dico perché in fondo in fondo sono buono):
- la gabbia è un piano cartesiano ed è infinita (visto che attrezzatura?);
- all'inizio, solo sui punti $(0, 0), (1, 0), (0, 1)$ sono situate delle trappole mortali (molto, MOLTO atroci);
- dati due punti $A, B$, se sia su $A$ che su $B$ c'è una trappola, allora Marco piazza una trappola anche sul simmetrico di $A$ rispetto a $B$ (se ce n'è già una, ce la lascia). Per chi se lo stesse chiedendo, ebbene sì: l'ho fatto per tutto il piano (o almeno, per tutti i punti raggiungibili con questi vincoli);
- non vengono piazzate altre trappole se non si possono piazzare seguendo la regola del terzo punto.
Voi dovete (solo se volete salvare Federico, altrimenti fregatevene pure, non siete obbligati) scrivere due numeri interi su due foglietti e darli a Marco, lui li darà a Federico (potete constatare che gli siano pervenuti i numeri giusti, ma non potete comunicare con lui): Federico sarà costretto a mettersi nel punto le cui coordinate sono i due numeri. Gli è permesso di scegliere quale usare come ascissa e quale come ordinata, ma lui non sa con quale criterio deve farlo, quindi fate attenzione che vadano bene tutte le due possibilità! Una volta che Federico si trova nel punto prestabilito, Marco aziona le trappole mortali, poi, quando queste hanno finito il loro lavoro, fa uscire Federico (o quel che resta di lui...).
Per non farvi fare fesserie tirando a casaccio, Marco vi darà il permesso di scrivere i due interi sui due foglietti se e solo se gli direte qual'è l'insieme di tutti e soli i punti del piano che permettono a Federico di salvarsi (badate bene: per come funziona il gioco, il punto $(x, y)$ funziona se e solo se funziona anche il punto $(y, x)$).
Siete in grado di salvare Federico? Sbrigatevi: fra poco dovrà partire a rappresentare l'Italia alle IMO (sì, stesso acronimo dell'altro problema); se muore, ci sarà una medaglia d'oro in meno!
[L02/03] Fede in the cage
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[L02/03] Fede in the cage
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: [L02/03] Fede in the cage
La formalizzazione non è il mio forte
Testo nascosto:
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Re: [L02/03] Fede in the cage
Che roba! Non sono stato a controllare tutte le simmetrie nel dettaglio, ma penso siano giuste. Ad ogni modo, il risultato è corretto. Una via più semplice è:
- mostro che da due punti con entrambi almeno una coordinata pari ottengo sempre un punto con almeno una coordinata pari (possiamo considerare la presenza di almeno una coordinata pari come una specie di invariante), all'inizio tutti i punti hanno coordinata pari, quindi quelli con entrambe le coordinate dispari non li posso ottenere;
- faccio gli assi; faccio il simmetrico di $(0, 1)$ rispetto a $(1, 0)$ che è $(2, -1)$; usando $(2, -1)$ e $(2, 0)$ mi faccio la retta $x=2$; faccio il simmetrico di $(0, 1)$ rispetto a $(-1, 0)$ che è $(-2, -1)$; usando $(-2, -1)$ e $(-2, 0)$ mi faccio la retta $x=-2$; per induzione avanti e indietro faccio tutte le rette verticali $x=2k$ per $k$ intero (ho una retta verticale, ho l'asse delle ascisse, vado in avanti facendo come ho fatto per ottenere $x=2$ e indietro facendo come ho fatto per ottenere $x=-2$); per simmetria (che so, tipo Marco si gira nel piano in modo da invertire gli assi) faccio tutte quelle orizzontali $y=2h$ per $h$ intero.
Va certamente formalizzata meglio, principalmente l'induzione che andrebbe fatta esplicitamente, ma anche la simmetria si potrebbe spiegare in un modo decisamente più chiaro di "Marco si gira nel piano", però è molto straightforward.
- mostro che da due punti con entrambi almeno una coordinata pari ottengo sempre un punto con almeno una coordinata pari (possiamo considerare la presenza di almeno una coordinata pari come una specie di invariante), all'inizio tutti i punti hanno coordinata pari, quindi quelli con entrambe le coordinate dispari non li posso ottenere;
- faccio gli assi; faccio il simmetrico di $(0, 1)$ rispetto a $(1, 0)$ che è $(2, -1)$; usando $(2, -1)$ e $(2, 0)$ mi faccio la retta $x=2$; faccio il simmetrico di $(0, 1)$ rispetto a $(-1, 0)$ che è $(-2, -1)$; usando $(-2, -1)$ e $(-2, 0)$ mi faccio la retta $x=-2$; per induzione avanti e indietro faccio tutte le rette verticali $x=2k$ per $k$ intero (ho una retta verticale, ho l'asse delle ascisse, vado in avanti facendo come ho fatto per ottenere $x=2$ e indietro facendo come ho fatto per ottenere $x=-2$); per simmetria (che so, tipo Marco si gira nel piano in modo da invertire gli assi) faccio tutte quelle orizzontali $y=2h$ per $h$ intero.
Va certamente formalizzata meglio, principalmente l'induzione che andrebbe fatta esplicitamente, ma anche la simmetria si potrebbe spiegare in un modo decisamente più chiaro di "Marco si gira nel piano", però è molto straightforward.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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