Triangoli probabili L02-3

[Rho33]

Tre numeri reali qualunque $a,b,c$ vengono scelti a caso con eguale probabilità nell'intervallo $(0,1]$. Determinare la probabilità che i tre numeri scelti siano i lati di un triangolo.

[polarized]

Può essere

Testo nascosto:

$$ \dfrac 3 4 $$

?

[Rho33]

Nope Intanto lascio due hint per due strade diverse (corposi entrambi purtroppo, non vi sono tante alternative...).

Hint 1:

Testo nascosto:

Ma se facessimo un WLOG? Si può fare?

Hint 2:

Testo nascosto:

Che cosa c'entra la geometria solida con questo problema?

[polarized]

Ci riprovo

Testo nascosto:

Siano $a,b,c$ tre reali non ordinati. Voglio capire quando $c<a+b$
Se $a+b>1$ la disuguaglianza è sempre vera. Questo ha probabilità di succedere di $\frac 1 2$.
Se $a+b<1$ la disuguaglianza è vera con probabilità $\frac 1 2$ in quanto sia $a+b$ che $c$ sono distribuiti uniformemente nell'intervallo. Questa situazione ( $a+b<1$ ) si verifica con probabilità $\frac 1 2$

In definitiva la disuguaglianza è complessivamente vera con probabilità $\frac 1 2 + \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 = \frac 3 4 $

Ora operiamo una sorta di Double counting
Se $c$ non è il numero più alto allora la disuguaglianza è vera (accade con $p=\frac 2 3$).

Se invece $c$ è il più alto allora la disuguaglianza sarà vera con probabilità $q$
Quindi $$ \frac 3 4 = \frac 2 3 + \frac 1 3 q$$
$$ q=\frac 1 4$$
Quindi se $c$ è il più grande dei tre allora la disuguaglianza è vera con probabilità $\frac 1 4$
Ma ora WLOG $a\le b\le c$, i tre numeri sono lati del triangolo se vale la disuguaglianza triangolare del testo che, come visto, è verificata per $q=\frac 1 4$

[Rho33]

Confesso di aver capito molto poco di quello che hai fatto Cerco di spiegare ciò che ho capito dal tuo caso $a+b<1$. Tu stai dicendo che la probabilità di scegliere $a+b$ in $[0,1]$ e di scegliere $c<a+b$ è $\dfrac {1}{4}$. Io il tuo caso lo vedo così: scelgo $a+b$ con probabilità $\frac {1}{2}$ (perché $a+b$ lo posso scegliere in $[0,2]$) ed ora chiamo $a+b=d$ è voglio la probabilità che, scelti $d,c$ in $[0,1]$, si abbia $c-d<0$. Ma ora vedila come un quadrato $1 \times 1$ ,nel piano cartesiano $(c,d)$,con il vertice in basso a sinistra nell'origine, (perché posso farlo?). Vuoi per quali valori $d>c$, e questa è esattamente la diagonale del tuo quadrato che lo divide in due parti, quindi la probabilità del tuo secondo caso iniziale è $\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{2}= \dfrac {1}{4}$.

Ora però, non capisco tutto il discorso su $c$, ma probabilmente perché non so nulla di probabilità Il WLOG dell'hint
riguarda una cosa diversa e più semplice...

In definitiva, dato che non proprio ho capito il resto, metto soluzioni varie e spunti di riflessione (in spoiler):

Testo nascosto:

Soluzione 1: WLOG $a$ è il più grande. Posso dilatare (restringere) la terna $(a,b,c)$ in $(1, \frac {b}{a}, \frac {c}{a})$, cerca di capire bene perché posso farlo! Ma se chiamo $x= \dfrac {b}{a}$ e $y=\dfrac {c}{a}$, non voglio altro che la probabilità di $x+y>1$. Questo è il caso simmetrico di ciò che ho fatto prima con il tuo esempio! Pensa ad un quadrato $1 \times 1$ nel piano cartesiano, traccia la diagonale $y=1-x$ ed esattamente metà del tuo quadrato soddisfa, quindi la probabilità è $\dfrac {1}{2}$.

Soluzione 2: WLOG $a$ è il più grande. Scelto $a$, tu vuoi scegliere $b,c$ in $[0,a]$ tali che $b+c>a$. Ma questo è esattamente il caso di prima, con un quadrato $a \times a $ , quindi la probabilità è $\dfrac {1}{2}$. (e questo spiega perché puoi scalare i valori!)

Soluzione 3: Dover scegliere $a,b,c$ in $[0,1]$ con la condizione, è equivalente a trovare il rispettivo volume del cubo $1 \times 1 \times 1$. Basta ora sistemare le tre disuguaglianze triangolari nello spazio (che saranno tre piramidi di volume $\frac {1}{6}$) e quindi la probabilità sarà:
$$1- 3 \cdot \dfrac {1}{6}= \dfrac {1}{2}$$

Può darsi che quanto hai fatto sia simile alle mie tre soluzioni, ma purtroppo non l'ho capito

[polarized]

Riguardo alla soluzione 3 ti chiedo (scusa per la rottura di palle e) di spiegarmi il senso del "sistemare le tre disuguaglianze triangolari nello spazio" perchè non vedo il collegamento tra la disuguaglianza e la piramide

Per quanto riguarda la mia soluzione la prima parte l'hai capita, la seconda consiste nel dire che 1 volta su 3 $c$ sarà il minore dei 3 numeri e quella disuguaglianza sarà sempre verificata, 1 volta su tre sarà quello intermedio e quindi idem, e 1 volta su 3 sarà il più grande e quindi quella disuguaglianza sarà vera per un certo $x$, però evidentemente c'è qualcosa che non fila nel mio ragionamento

EDIT: Non avevo riflettuto abbastanza, credo di aver capito: sostanzialmente è come se pensassi al piano $z=x+y$ che effettivamente taglia una piramide dal cubo e prenda i valori che sottende, grazie ancora per le tre soluzioni!

[Rho33]

Per la soluzione tre: vuoi capire per quali regioni del cubo, si abbia $x \geq y+z$ e cicliche, in modo da sottrarre il volume di queste tre regioni dal totale. Se fai un disegno e provi qualche caso (purtroppo è molto difficile spiegarlo così ), ogni regione è una piramide con area di base $\dfrac {1}{2}$ e altezza $1$, che ha quindi volume $\dfrac {1}{6}$.

Vedila così, ad esempio con $x \geq y+z$ : tu hai $x-y-z \geq 0$, questa è l'equazione di un piano nello spazio, $x-y-z=0$ , che passa per l'origine. Riesci a trovare il luogo dei punti tali che valga la condizione? Hai provato a fare il caso bidimensionale con $x \geq y$ ? Quindi se in due dimensioni viene $\dfrac {1}{2}$, in tre dimensioni è ragionevole che sommate diano un $\dfrac {1}{2}$ , no ?

[polarized]

Sì avevo editato scrivendo che effettivamente senza disegnarlo davvero mi sembrava un po' astratto, ma che effettivamente con un cubo davanti la cosa ha molto più senso, ci sono appunto tre piramidi a base triangolare (questa soluzione è senza dubbio la più figa)