Avendo 4 punti, le distanze a due a due saranno sei. Dunque, dette [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] le due distanze, possiamo avere 4 situazioni differenti:
1. Tutte e sei le distanze sono uguali, e in questo caso l'unica possibilità è che siano tutte uguali a zero, dunque che i punti siano coincidenti. Se infatti non lo fossero i 4 punti dovrebbero essere sui vertici di un rombo, ma in questo caso le due diagonali, che sono le altre due distanze, non possono essere uguali ai lati (spero che non sia da dimostrare), quindi se i punti sono distinti le distanze non possono essere tutte uguali.
2. 5 distanze sono uguali (chiamiamole [tex]a[/tex]), e una diversa. Per costruire questo caso, ritorniamo all'esempio di prima costruendo un rombo di lato [tex]a[/tex], in modo da avere già 4 lati uguali, e gli angoli interni di [tex]60°[/tex] e [tex]120°[/tex], in modo che il rombo consista in due triangoli equilateri con un lato in comune, e dunque una diagonale sia uguale ai lati, e quindi ad [tex]a[/tex], mentre l'altra diagonale sarà uguale a [tex]\sqrt{3}a[/tex]. Possiamo anche avere un triangolo equilatero di lato [tex]a[/tex] che in un vertice ha due punti, e quindi una sola distanza uguale a 0. Questo corrisponde al caso precedente, ma i due triangoli equilateri hanno tutti i lati in comune, invece di uno solo (anche se consideriamo solo 4 punti).
3. 4 distanze sono uguali ad [tex]a[/tex], e due diverse ma uguali tra loro ([tex]b[/tex]). Il nostro rombo di lato [tex]a[/tex] deve avere le diagonali uguali, e quindi sarà un quadrato, con [tex]b=\sqrt{2}a[/tex]. Un'altra possibilità è di avere due coppie di punti coincidenti,con due distanze uguali a 0 e 4 uguali alla lunghezza del segmento che si viene a creare.
4. Abbiamo 3 distanze uguali ([tex]a[/tex]) e tre diverse ma uguali tra loro ([tex]b[/tex]). Se tre punti devono avere la stessa distanza tra loro devono essere i vertici di un triangolo equilatero, mentre il punto rimanente dev'essere al centro del triangolo equilatero. Quando però [tex]a=0[/tex] se avessimo il quarto punto nel centro del triangolo (degenere), ci ritroveremmo nel caso 1, per cui il quarto punto potrà essere ovunque nel piano, tranne dove sono gli altri
Quindi vengono 7 possibilità: tutti coincidenti, rombo formato da due triangoli equilateri, triangolo equilatero con un vertice doppio, quadrato, due coppie di punti coincidenti, triangolo equilatero con un punto nel centro, tre punti coincidenti e uno separato.