Macchina inaffidabile

[ngshya]

Un tecnico è chiamato in una ditta per intervenire su una macchina che si sta rivelando inaffidabile (una delle quattro, che sono identiche e indistinguibili). La macchina difettosa produce 1 pezzo difettoso su 5, le altre tre macchine producono, a testa, 1 difettoso su 100.
Il tecnico entra nella ditta, sceglie a caso una delle 4 macchine, osserva un pezzo a caso prodotto da quella macchina e nota che è difettosa. Qual è la probabilità che abbia scelto la macchina inaffidabile?

[Livex]

ok ci provo
sia [tex]x[/tex] la quantita di oggetti prodotti da ogni macchina(devono aver prodotto tutte lo stesso numero di oggetti)
la probabilita è definita come [tex]\frac{casi favorevoli}{casi totali}[/tex]
i casi totali sono tanti quanti i modi di scegliere oggetti difettosi in tutti e 4 le macchine quando ogni macchina ha prodotto una quantita [tex]x[/tex] ,di conseguenza [tex]\frac{23}{100}x[/tex]
i casi favorevoli sono tanti quanti sono i modi di scegliere dalla prima macchina un oggetto difettoso da una quantita [tex]x[/tex] quindi sono [tex]\frac{1}{5}x[/tex]
quindi la probabilita richiesta è [tex]\frac{1}{5}x[/tex] fratto [tex]\frac{23}{100}x[/tex],quindi [tex]\frac{20}{23}[/tex]
fatemi sapere se ho fatto giusto,ciao

[ngshya]

Sì, è giusta. Una soluzione, più teorica, potrebbe essere quella di sfruttare la formula di Bayes. Qualcuno vuole tentare?

OT:
[tex]\text{Se vuoi scrivere testi all'interno dei tag } \TeX \text{, come in questa frase, basta che usi }[/tex]

Codice: Seleziona tutto

\text{testo_che_vuoi}

[Livex]

ci ho messo un po a capire la formula di bayes, dunque sia D la macchina difettosa,sia P(A1) la probabilita l'oggetto provenga da D,sia P(K) la probabilita da noi cercata,P(A2) la probabilita contraria ad A1,P(B) la probabilta che l'oggetto sia difettoso da D
abbiamo che P(A1)=[tex]\frac{1}{4}[/tex] perche ci sono quattro macchine,P(B|A1)=[tex]\frac{1}{5}[/tex] perche è la probabilita che se ne scelga uno difettoso,
P(A2)=[tex]\frac{3}{4}[/tex] perche sono le altre tre macchine
quindi P(K)=[tex]\displaystyle\frac{P(A1)*P(B|A1)}{P(A1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)}[/tex]
sostituendo

[tex]\displaystyle\frac{\frac{1}{4}*\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}*\frac{1}{5}+\frac{3}{4}*\frac{3}{100}}[/tex]

svolgendo i calcoli viene [tex]\frac{20}{29}[/tex],cosa sbaglio?

[Livex]

non potendo piu modificare il messaggio riscrivo, P(B|A2)=[tex]\frac{1}{100}[/tex] perche come facevo prima contavo [tex]\frac{3}{100}[/tex] per ogni macchina,viene [tex]\frac{20}{23}[/tex]
cosi è giusto vero?

[ngshya]

Em... secondo me c'è un po' di confusione (anche se il ragionamento dovrebbe essere giusto). Ti riscrivo ciò che ho capito.

Riscrivo gli eventi
A1 = {ha scelto la macchina difettosa}
A2 = {ha scelto una macchina non difettosa}
B = {l'oggetto scelto è difettoso}

Vogliamo calcolare [tex]P(A1|B)[/tex] cioè, sapendo che l'oggetto scelto è difettoso calcolare la probabilità che è stata scelta la macchina difettosa.
Per Bayes si può scrivere [tex]\displaystyle P(A1|B) = \frac{P(B|A1) \cdot P(A1)}{P(B)}[/tex]
Dobbiamo calcolare le tre probabilità presenti nel RHS.
[tex]P(B|A1)[/tex] è la probabilità che l'oggetto scelto sia difettoso sapendo che è stata scelta la macchina difettosa. E quindi [tex]\displaystyle P(B|A1)=\frac{1}{5}[/tex].
[tex]\displaystyle P(A1) = \frac{1}{4}[/tex] come hai già detto.
[tex]P(B)[/tex] è la probabilità che l'oggetto scelto sia difettoso non avendo nessuna informazione sulla macchina scelta. Allora [tex]\displaystyle P(B) = P(B|A1) \cdot P(A1) + P(B|A2) \cdot P(A2) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{100} \cdot \frac{3}{4} = \frac{23}{400}[/tex] dato che gli eventi A1 e A2 partizionano le scelte possibili della macchina.

E quindi [tex]\displaystyle P(A1|B) = \frac{P(B|A1) \cdot P(A1)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{23}{400}} = \frac{20}{23}[/tex]

Di solito, Bayes è molto comodo quando non si possono calcolare le probabilità direttamente.

[Livex]

hai capito benissimo,il ragionamento che avevo fatto era quello,malgrado ciò ho avuto vari problemi con il [tex]\text{latex}[/tex] e quindi sono riuscito a complicare anche quello che era facile