[L03/04] Rispolverare e ampliare vecchi problemi

[Gerald Lambeau]

Siano $m, n$ due interi positivi. Ogni casella di una scacchiera $(2m+1) \times (2n+1)$ viene colorata di bianco o di nero. Si dice speciale una casella tale che sia nella sua riga che nella sua colonna il numero di caselle del suo stesso colore è maggiore del numero di caselle dell'altro colore.
Mostrare che ci sono almeno $m+n+1$ caselle speciali.

[Federico II]

Testo nascosto:

Sbaglio o la risposta non è quella che uno si aspetta conoscendo il problema originale?

[Gerald Lambeau]

Dipende da che risposta tu ti aspetti conoscendo il problema originale. A me sembra invece che sia proprio quella aspettata, l'esempio per raggiungerla è lo stesso...

[Federico II]

Testo nascosto:

B B B B B B B N N N N N N
B B B B N N N B B B N N N
B B B B N N N N N N B B B

[Gerald Lambeau]

Sì, mi sono reso conto che la mia soluzione non funziona.
Tolgo subito il punto (c).

[Ippocrate]

ciao ragazzi , questo è il secondo anno che partecipo alla gara di febbraio che quest'anno si farà il 21 (sono un ragazzo di 2 anno) , ma volevo chiedervi in che modo potrei raggiungere un punteggio alto (andrebbe bene un punteggio trai 60-70) anche non avendo come mie conoscenze matematiche gli argomenti scolastici di matematica fatti fino al 2 anno di liceo scientifico.
Invece secondo voi su cosa dovrei allenarmi al fine di poter raggiungere un punteggio alto?
grazie

[Gerald Lambeau]

Non è questo il luogo per parlarne, questa è la sezione Esercizi-->Combinatoria, e questo topic da me aperto con un problema serve appunto per parlare del problema (proporlo, risolverlo, chiarire alcune cose come è successo).

Per domande su come prepararsi si utilizza la sezione Gare Matematiche o Teoria, a seconda delle esigenze.

[Ale99]

Ma è il problema che è semplice o sono io che ho trovato una soluzione furba ?

Testo nascosto:

Una casella è bella se sulla sua riga ci sono più caselle del suo stesso colore, gnocca se questo accade sulla colonna ... chiaramente una casella bella e gnocca è speciale. Ci sono almeno [tex](n+1)(2m+1)[/tex] caselle gnocche ed almeno [tex](m+1)(2n+1)[/tex] caselle belle ...
Ma ora abbiamo che indicando con [tex]S[/tex] il numero di caselle speciali abbiamo
[tex]\begin{equation} (2m+1)(2n+1) \ge (n+1)(2m+1)+(m+1)(2n+1)-S \end{equation}[/tex]
ma allora
[tex]\begin{equation} S \ge (n+1)(2m+1)+(m+1)(2n+1) - (2m+1)(2n+1) = m+n+1 \end{equation}[/tex]
Fine

Testo nascosto:

Potrei aver scambiato righe e colonne ma non cambia niente

[Gerald Lambeau]

È giusta, è giusta, ma infatti è facile ed è praticamente identica al punto (a) del 6 di Cesenatico 2014.

[Ale99]

Ah ok ottimo ... Dai un punto a del 6 così anche quest'anno farebbe comodo