[Febbraio 2017] Esercizio 17

[mr96]

Un triangolo equilatero è diviso in 9 triangolini, e su ogni triangolino è inizialmente scritto il numero 0. Marco, per passare il tempo, fa il seguente gioco: ad ogni mossa sceglie due triangolini con un lato in comune e somma o sottrae 1 a entrambi i numeri scritti su questi triangolini (si intende che l'operazione effettuata su due triangolini è la stessa). Dopo qualche tempo si accorge che i numeri scritti sui $9$ triangolini sono, in un qualche ordine, $n,n+1,...,n+8$, dove $n$ è un intero non negativo. Dimostrare che $n$ può essere solo $0$ o $2$.

Soluzione:

Testo nascosto:

Coloro il triangolo in modo che i triangolini girati "in giù" siano neri e quelli girati "in su" siano bianchi. Chiamo $S_b$ la somma dei numeri sui triangolini bianchi e $S_n$ quella su quelli neri. Allora, a ogni passo, $S_n-S_b=0$. Quindi $S_n=S_b$ e, più precisamente, detta $(\sigma_0,...,\sigma_8)$ una permutazione di $(1,...,8)$ deve valere $3n+\sigma_0+\sigma_1+...+\sigma_5=\sigma_6+\sigma_7+\sigma_8$, da cui, facendo il caso limite della permutazione identica, $0 \leq 3n \leq 6$, ovvero $n=0,1,2$. Infine notiamo che $n=1$ non va bene perché il nostro invariante implica che sia invariante anche la parità della somma di tutte le caselle.

[GiOvy 27 13]

Io ho dimostrato solo che n dev'essere pari, secondo voi mi danno qualche punto?

La somma dei valori nei triangolini è 9n+36, e questa somma dev'essere pari perché a ogni mossa si aggiunge o toglie 2. Se n fosse dispari, allora anche 9n+36 sarebbe dispari, il che è assurdo. n è pari.

[mr96]

Io ho dimostrato solo che n dev'essere pari, secondo voi mi danno qualche punto?

La somma dei valori nei triangolini è 9n+36, e questa somma dev'essere pari perché a ogni mossa si aggiunge o toglie 2. Se n fosse dispari, allora anche 9n+36 sarebbe dispari, il che è assurdo. n è pari.

Secondo me 3 o 4 punti si. Ho aggiunto la soluzione

[GiOvy 27 13]

Io ho dimostrato solo che n dev'essere pari, secondo voi mi danno qualche punto?

La somma dei valori nei triangolini è 9n+36, e questa somma dev'essere pari perché a ogni mossa si aggiunge o toglie 2. Se n fosse dispari, allora anche 9n+36 sarebbe dispari, il che è assurdo. n è pari.

Secondo me 3 o 4 punti si. Ho aggiunto la soluzione

Grazie...speriamo perché potrei averne bisogno

[Salvador]

Io ho fatto un po' più complesso.

Testo nascosto:

Ho colorato di due colori diversi i triangolini in modo che due con un lato in comune siano di colori diversi e due con un vertice in comune dello stesso colore. Se $a,b,d,e,g,i$ sono i valori dei triangolini neri per esempio, e $c,f,h$ quelli dei triangolini neri, allora $S=a+b+d+e+g+i-c-f-h=0$ è un invariante. La somma è $9n+36$, che dev'essere pari perché $S$ non cambia, e per $n$ dispari non lo è. Inoltre, poiché $S=0$ è necessario che $c+f+h=a+b+d+e+g+i$, dunque $\dfrac{9n+36}{2}$ dev'essere esprimibile come somma di tre elementi (sono 3 i triangolini bianchi). Ma ciò per $n\ge4$ è impossibile perché $c+f+h<3(n+8)\le\dfrac{9n+36}{2}$, dunque $n<4$.

Che ne pensate?

[FedeX333X]

Io ho fatto un po' più complesso.

Testo nascosto:

Ho colorato di due colori diversi i triangolini in modo che due con un lato in comune siano di colori diversi e due con un vertice in comune dello stesso colore. Se $a,b,d,e,g,i$ sono i valori dei triangolini neri per esempio, e $c,f,h$ quelli dei triangolini neri, allora $S=a+b+d+e+g+i-c-f-h=0$ è un invariante. La somma è $9n+36$, che dev'essere pari perché $S$ non cambia, e per $n$ dispari non lo è. Inoltre, poiché $S=0$ è necessario che $c+f+h=a+b+d+e+g+i$, dunque $\dfrac{9n+36}{2}$ dev'essere esprimibile come somma di tre elementi (sono 3 i triangolini bianchi). Ma ciò per $n\ge4$ è impossibile perché $c+f+h<3(n+8)\le\dfrac{9n+36}{2}$, dunque $n<4$.

Che ne pensate?

La prima parte è in realtà esattamente identica alla soluzione sopra, che invece "salta qualche passaggio". Io lo ho risolto quasi allo stesso modo, ma giustificando meno bene l'ultimo pezzo, anche se il concetto che intendevo era quello, comunque mi sembra corretta, non vedo perché non debba valere 15 punti.

[Salvador]

Grazie!

[Salvador]

Io ho fatto un po' più complesso.

Testo nascosto:

Ho colorato di due colori diversi i triangolini in modo che due con un lato in comune siano di colori diversi e due con un vertice in comune dello stesso colore. Se $a,b,d,e,g,i$ sono i valori dei triangolini neri per esempio, e $c,f,h$ quelli dei triangolini neri, allora $S=a+b+d+e+g+i-c-f-h=0$ è un invariante. La somma è $9n+36$, che dev'essere pari perché $S$ non cambia, e per $n$ dispari non lo è. Inoltre, poiché $S=0$ è necessario che $c+f+h=a+b+d+e+g+i$, dunque $\dfrac{9n+36}{2}$ dev'essere esprimibile come somma di tre elementi (sono 3 i triangolini bianchi). Ma ciò per $n\ge4$ è impossibile perché $c+f+h<3(n+8)\le\dfrac{9n+36}{2}$, dunque $n<4$.

Che ne pensate?

La prima parte è in realtà esattamente identica alla soluzione sopra, che invece "salta qualche passaggio". Io lo ho risolto quasi allo stesso modo, ma giustificando meno bene l'ultimo pezzo, anche se il concetto che intendevo era quello, comunque mi sembra corretta, non vedo perché non debba valere 15 punti.

Mi hanno dato 7 punti...
In totale ho fatto 64...

[FTMaker]

Avevo creato un nuovo thread per il dimostrativo 15, non avendo visto che molti erano già aperti. Questo lo scrivo qui sotto, sperando venga letto.

Anche in questo caso ho una soluzione diversa da quella ufficiale, mi piacerebbe capire se è accettabile/ quanti punti avrei potuto prendere, dato che mi sto allenando.

La mia soluzione:

Ho osservato innanzitutto che ogni mossa aggiunge o toglie 2 alla somma totale, che parte da un valore iniziale 0 ed arriva a 9n+36 nella situazione considerata. Dimostro che n deve essere pari.
Successivamente ho osservato che sei dei nove quadratini non sono in comunicazione, e ogni mossa può variare il valore della somma di questi di più o meno 1 (non più di due come quella totale). La somma di questi 6 può variare da un minimo di 6n+15 ad un massimo di 6n+33: il numero minimo di mosse k per giungere a questa situazione varia quindi anch'esso tra 6n+15 e 6n+33.
Considero l'equazione S = 2*k, con S=somma totale=9n+36 e k appena definito. Sostituendo trovo che n varia da -10 a 2: essendo pari e non negativo, i due valori possibili sono 0 e 2.

Cosa ne dite?