Aiuto anagramma

[feddd]

Quanti sono gli anagrammi della parola [tex]RANDAGI[/tex] che non hanno due vocali adiacenti?
Ho provato a ragionare col principio inclusione-esclusione ma non so come trovare quanti siano gli anagrammi sbagliati!

[Dudin]

prova a imporre che tra una vocale e l'altra ci deve essere almeno una lettera in mezzo

[feddd]

prova a imporre che tra una vocale e l'altra ci deve essere almeno una lettera in mezzo

È proprio questo che non so come fare

[Lasker]

Probabilmente il punto che ti manca è trattare AA, AI, IA, AAI, AIA, IAA come se fossero un'unica lettera, nel contare gli anagrammi "sbagliati".

Testo nascosto:

Per esempio, se volessi semplicemente contare gli anagrammi di RANDAGI senza due A consecutive, faresti tutti gli anagrammi
meno gli anagrammi di RNDGI*, dove * sostituisce la doppia A.

Ricapitolando il problema viene sapendo fare gli anagrammi di una parola qualsiasi, usando questo trucco, dividendo in casi e usando il principio di inclusione-esclusione come hai detto.

[feddd]

Quindi verrebbe in totale [tex]7! - (3 \cdot 5! + 3 \cdot 4!)[/tex] ?

[Lasker]

Attento quando fai gli anagrammi di una parola qualsiasi! Il $7!$ torna solo se tutte le lettere che hai sono diverse (non in questo caso).

[feddd]

Hai ragione, grossa svista mia. Comunque grazie ora ho capito

[teodella99]

Secondo me non è così semplice perchè dai casi [tex]RNDGI*[/tex] in cui * sta per [tex]AA[/tex] bisogna stare attenti a escludere quando si ricade in [tex]RNDG*[/tex], ossia quando la coppia [tex]AA[/tex] è vicina alla [tex]I[/tex] (e così via per gli altri casi).
Tenedo conto di ciò, e con un po' di sistemazioni a me la risposta definitiva risulta essere [tex]6

[Susanna]

Io ci ho provato, spero che il risultato (o, almeno, il procedimento) sia giusto...

Testo nascosto:

Ho iniziato col considerare le vocali separatamente dalle consonanti.
Il numero di modi diversi in cui posso anagrammare le vocali è 3 (I-A-A, A-I-A, e A-A-I), mentre per le consonanti, essendo R-N-D-G tutte diverse, è 4!, ovvero 24.
Perciò, decidendo di fissare le tre vocali in tre posti "idonei" (quindi in tre posti non adiacenti tra loro), avrò 24*3=72 modi di anagrammare la parola.
Il numero di modi in cui posso fissare le vocali per avere un anagramma "giusto" è 3+2+1+2+1+1=10, perciò gli anagrammi "giusti" in totale saranno 72*10=720.

Lo ho fatto abbastanza velocemente però, quindi magari ho scritto cavolate:)

[CosecantofPi]

Il metodo di Susanna e' giusto, tuttavia non ha spiegato come e' arrivata a dire che esistono 10 disposizioni "vocale-consonante" valide. Con numeri cosi bassi si può fare a mano, ma dato che ci sono, spiego il metodo generale, che sfrutta (non in questo caso) il $PIE$.
Cerchiamo le possibili parole formate da C (consonante) e V (guess what) di 7 lettere tali che non compaiano 2 V consecutive.
Le parole da noi cercate di n lettere le chiameremo $P_n$. Le parole possono cominciare in 2 modi: $C$ o $V$.
Quando cominiciamo pero con la lettera $V$ saremo costretti a mettere una $C$ dopo.
Le parole di $n$ lettere corrispondono alla somma delle parole di $n-1$ lettere e quelle di $n-2$.
$P_n=P_{n-1} + P_{n-2}$
A mano troviamo che $P_1=2$ e $P_2=3$
La nostra sequenza corrisponde percio' alla sequenza di Fibonacci shiftata di 2, $P_7=34$.
In queste 34 parole pero stiamo contando dei casi sbagliati. Innanzi tutto notiamo che stiamo contando il caso $VCVCVCV$ che non vale poiche' ha 4 Vocali mentr la nostra parola ne ha solo 3.
Stiamo inoltre contando i seguenti casi:
1)Parole con sole 7 Consonanti : 1
2)Parole con 6 Consonanti e 1 vocale: $\frac{7!}{6!}= 7$
3)Parole con 5 Consonanti e 2 vocali: $\frac{7!}{2!\cdot5!}$ ma cosi stiamo contando anche i casi in cui le vocali sono vicine, che sono esclusi dalla nostra relazione ricorsiva. Per contare questi casi consideriamo le due vocali come un unica vocale e ci ritroviamo a calcolare anagrammi di una parola con 5 consonanti e 1 vocale= $\frac{6!}{5!}=6$ Per cui 21-6=15
(In generale, se dovessimo considerare un caso generale, dovremmo contare gli anagrammi di quella parola - anagrammi con 2 vocali vicine + anagrammi con 3 vocali vicine - anagrammi con 4 vocali vicine... <vedi principio inclusione-esclusione>).
Ora quindi dai nostri $34$ modi dovremmo toglierci $15+7+1$ e cio' ci conduce a 10 casi.