[L04] Geo-combinatorio
[L04] Geo-combinatorio
Sia $n$ un intero positivo e siano $P_1,...,P_n$ dei punti su una circonferenza di raggio $r$. Si dimostri che $r^2\ge \dfrac{1}{2n^2} \sum_{i,j=1}^n |P_i P_j|^2$, precisando anche in quali casi vale l'uguaglianza.
Re: [L04] Geo-combinatorio
sicuramente la sbaglierò però provare non costa nulla 
scrivo la formula in funzione del diametro:
[tex]d^{2} \ge \frac{2} {n^{2}} \sum_{i,j=1}^{n}[/tex] PiPj^2 (e la prima volta che uso sta roba)
ovviamente fissati i punti essi potranno al massimo avere distanza di un diametro a due a due.
Quindi la somma dei quadrati delle distanze sarà sicuramente minore della somma dei quadrati dei diametri.
Ok quindi immaginiamo per assurdo (si dice cosi?) che i punti si trovino tutti a distanza di un diametro uno dall'altro
allora la formula diventerebbe [tex]d^{2} \ge \frac{2\binom{n}{2}d^{2}} {n^{2}}[/tex]
la formula dice tutto: sicuramente [tex]2\binom{n}{2}d^{2} = (n*(n-1))d^{2}[/tex] e non è necessario dimostrare che [tex]n*(n-1) < n^{2}[/tex].
Quindi se per assurdo potessimo scegliere n punti distanti un diametro tra essi la disequazione di partenza sarebbe ancora valida e quindi vale anche per punti generici la cui somma dei quadrati delle distanze è minore dell'eventuale somma dei quadrati dei diametri.
(le modifiche sono per degli errori con le parentesi )
scrivo la formula in funzione del diametro:
[tex]d^{2} \ge \frac{2} {n^{2}} \sum_{i,j=1}^{n}[/tex] PiPj^2 (e la prima volta che uso sta roba)
ovviamente fissati i punti essi potranno al massimo avere distanza di un diametro a due a due.
Quindi la somma dei quadrati delle distanze sarà sicuramente minore della somma dei quadrati dei diametri.
Ok quindi immaginiamo per assurdo (si dice cosi?) che i punti si trovino tutti a distanza di un diametro uno dall'altro
allora la formula diventerebbe [tex]d^{2} \ge \frac{2\binom{n}{2}d^{2}} {n^{2}}[/tex]
la formula dice tutto: sicuramente [tex]2\binom{n}{2}d^{2} = (n*(n-1))d^{2}[/tex] e non è necessario dimostrare che [tex]n*(n-1) < n^{2}[/tex].
Quindi se per assurdo potessimo scegliere n punti distanti un diametro tra essi la disequazione di partenza sarebbe ancora valida e quindi vale anche per punti generici la cui somma dei quadrati delle distanze è minore dell'eventuale somma dei quadrati dei diametri.
(le modifiche sono per degli errori con le parentesi )