[L02/03] Conta gli angoli

[Gerald Lambeau]

Sono fissati $n$ punti distinti su un cerchio. Contiamo il numero di valori diversi che può assumere un angolo $\widehat{ABC}$ dove $A, B, C$ sono tre punti distinti tra gli $n$ dati.
Quanto può valere al massimo il numero di valori contati (al variare di tutte le possibili configurazioni di $n$ punti)?

EDIT: c'era una frase scritta male

[Dudin]

Se non ho fatto male i conti esce [tex]\binom{n}{3}[/tex]

[matpro98]

Per $n=3$ tu hai 1, ma se prendi un triangolo scaleno conti 3 angoli

[Dudin]

a vero l'ordine conta quindi esce [tex]\binom{n}{2}[/tex]

[Gerald Lambeau]

Nope

[Dudin]

OK ci riprovo per l'ultima volta.
Visto che la circonferenza é composta da infiniti punti possiamo fare infiniti archi e quindi infiniti angoli alla circonferenza.

Quindi dobbiamo contare in quanti modi possiamo prendere 3 punti su una circonferenza e moltiplicare il risultato ottenuto per 3 ( non per 3! perché altrimenti conteremmo gli angoli a doppio)

E quindi la formula è [tex]3\binom{n}{3}[/tex] con n > 2

[matpro98]

Però essendo una circonferenza, $ABC=ADC $, quindi conta per 1 mentre tu lo conti per 2

[Dudin]

Hai ragione. Quindi bisogna contare tutti i possibili archi però bisogna moltiplicare per 2 nel caso ci sia un punto sia "nella parte esterna'' all arco che in quella interna

[Gerald Lambeau]

Sì, l'ultima cosa che hai detto è giusta, ma devi dimostrare che è sempre possibile prendere $n$ punti tale che tutte le lunghezze possibili di tutti gli archi tra due punti qualsiasi siano diverse tra loro.

[Dudin]

Può bastare mostrare che possiamo mettere infiniti punti in questo modo? I primi due formano un arco L il secondo e il terzo un arco L/2 il terzo e il quarto L/4 ecc... In questo modo in qualsiasi modo gli scegliamo avremo sempre una distanza diversa