esercizio

[Essor2]

In un gioco tradizionale un giocatore gioca contro il banco lanciando due dadi. Se la somma dei risultati che

[Dudin]

P(Vincere) = P(vincere al primo colpo) + p(vincere nei lanci successivi)

[CaptainJohnCabot]

L'altro giorno ho provato a formalizzare al volo un ragionamento. Correggetemi se sbaglio.

Sia $p_i$ la probabilità che ha il numero $i$ di uscire.
La probabilità di vincere $P$, come dice Dudin, è data dalla somma della probabilità che si ha di vincere al primo turno $P_1$ e di quella di vincere ai turni successivi $P_S$. Ovvero:

$\displaystyle P=P_1+P_S$

Si ha:

$P_1=p_{11} +p_7=2/9$

Si calcola ora $P_S$.
Dato che ogni $n$ ha una probabilità diversa di uscire conviene dividere in casi.
Si indica con $P_{i}^{n}$ la probabilità di vincere all'i-esimo turno per $i\geq 2$ quando al primo è uscito $n$. Se C è l'insieme dei valori possibili di $n$ allora la probabilità $P$ cercata è:

$\displaystyle P_S=\lim_{k \to \infty} \sum\limits_{n\in C}\sum\limits_{i=2} ^{k} P_{i}^{n}$

La probabilità di vincere all'i-esimo turno è la probabilità che esca $n$ al primo e all'i-esimo turno è che non esca né $n$ né $7$ nei turni dal secondo all'(i-1)-esimo. Ovvero:

$\displaystyle P_{i}^{n}=(p_n) ^2 (1-p_n-p_7)^{i-2}$

Quindi:

$\displaystyle P_S=\lim_{k \to \infty} \sum\limits_{n\in C}\sum\limits_{i=2} ^{k}(p_n) ^2 (1-p_n-p_7)^{i-2} $

Da cui calcolando i limiti e inserendo i valori di $p_n$ si ottiene:

$\displaystyle P_S=2\cdot\frac{25} {396}+2\cdot\frac{1} {36}+\frac{2} {45} +\frac{1} {72}=\frac{317}{1320}$

Allora:

$\displaystyle P=\frac{317}{1320}+\frac{2} {9}=\frac{1831}{3960}\approx 0,46$

Pertanto non conviene giocare.