Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Quanti sono gli interi n, con 1 ≤ n ≤ 600, che non sono divisibili né per
3, né per 5, né per 7?
non mi sembra un problema complicato usando la tecnica dell'inclusione ed esclusione (forse ho sbagliato nei calcoli) mi esce un altro risultato (), il libro dà come risultato 442.
potreste provare a risolverlo e scrivermi come avete fatto? Grazie

A te quanto viene? Perché 442 mi sembra sbagliato al volo, visto che ce ne sono già 200 divisibili per 3...

io ho fatto 600-(600/3+600/5+600/7-600/15-600/21-600/35+600/105) = 265 crede sia giusto?
mentre questa è la soluzione del libro
Hint: Usare il principio di inclusione-esclusione.
Soluzione: Tra 1 e 105 sono 105 − (105/3+105/5+105/7−105/3 · 5−105/3 · 7−105/5 · 7+ 1) = 82,
quindi tra 1 e 525 sono 5 · 82 = 410. Tra 526 e 600 sono tanti quanti tra
1 e 75 (per congruenze). I multipli di 3 o 5 sono 5 · (3 + 5 − 1) = 35, i
multipli di 7 che non siano già multipli di 3 o 5 sono 8, quindi bisogna
aggiungere 75 − 35 − 8 = 32, per un totale di 410 + 32 = 442.

Beh, il primo conto della soluzione del libro è sbagliato (provare per credere).
Ho fatto i conti velocemente quindi potrei aver sbagliato, ma a me viene 275.

La formula è giusta, più precisamente bisognerebbe considerare le parti intere (a meno di stare utilizzando la notazione di vari linguaggi di programmazione per cui la divisione tra interi dà come risultato il quoziente intero):

[tex]600 - \left( \left\lfloor \dfrac{600}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{600}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{600}{7} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{600}{15} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{600}{21} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{600}{35} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{600}{105} \right\rfloor \right) = 600 - (200+120+85-40-28-17+5) = 600-325 = 275[/tex]

In effetti è anche sbagliato che tra 1 e 105 siano 82, visto che si può constatare immediatamente come possano essere al più 70, osservando che ci sono 35 multipli di 3...

Ho rincotrollato i conti e mi esce 275 (al posto di 265... questi conti ) tengo per buono questo risultato quello del libro come hai fatto notare é sbagliato grazie mille per le vostre gentili risposte

Figurati. Peraltro, dati 105 numeri consecutivi, quelli che soddisfano il criterio sono sempre nello stesso numero, visto che compaiono una ed una sola volta tutte le classi di resto modulo 105. Se tra 526 e 600 (75 numeri consecutivi) ce ne sono 32 soddisfacenti, come ce ne fanno ad essere 82 (cioè 50 in più) tra 1 e 105 (ovvero con 30 numeri consecutivi in più) ?