Tessere del domino

[Drago]

Abbiamo tante tessere del domino (ovvero 2x1) e vogliamo disporle con una forma simile a quella di un quadrato 10x10, ma con due angoli (1x1) opposti "mangiati". Possiamo? Perchè?

[Livex]

coloriamo il quadrato tipo una scacchiera con colori bianco e nero
nella nostra colorazione ci sono [tex]48[/tex] caselle nere e [tex]50[/tex] caselle bianche,ogni tessera ricopre necessariamente comunque essa sia disposta una casella nera e una bianca,ma il numero di caselle deve essere uguale per poter ricoprire totalmente la scacchiera perche appunto possiamo sottrarre un bianco e un nero alla volta,da qui l'impossibilita di ricoprire completamente il quadrato perche non possiamo far arrivare a [tex]0[/tex] contemporaneamente le caselle bianche e quelle nere

[Drago]

Bene

[scambret]

E se vogliamo tassellare con dei $3 x 1$ la scacchiera $10 x 10$, togliendo una casella, in quanti modi possiamo scegliere la casella da togliere?

[Lasker]

@scambret

Io ho diviso la scacchiera in tre colorazioni (rosso, verde, blu), secondo il seguente schema

R V B R V B R V B R
V B R V B R V B R V
B R V B R V B R V B
R V B R V B R V B R
V B R V B R V B R V
B R V B R V B R V B
R V B R V B R V B R
V B R V B R V B R V
B R V B R V B R V B
R V B R V B R V B R

Notiamo subito come, in qualsiasi modo sia messa, una tessera copra sempre tre caselle di colori diversi!
Quindi , alla fine delle operazioni, ci saranno 33 caselle coperte di ogni colore
Ma, contando nella scacchiera integra, ci sono 33 Verdi, 33 Blu e soprattutto 34 Rosse
Ne deduco che dovrò eliminare una qualsiasi delle caselle colorate di rosso, quindi posso scegliere tra 34 opzioni diverse
La dimostrazione è corretta?Non sono del tutto sicuro, certamente non ho dimostrato che per quelle tessere è effettivamente possibile una tassellazione...

[Lasker]

Ops...non ho considerato la tassellazione speculare!Ovviamente, per quanto detto prima, le caselle che posso togliere devono essere rosse su entrambe le colorazioni!
Dunque, è facile vedere che sono solo

ROOROOROOR
OOOOOOOOO
OOOOOOOOO
ROOROOROOR
OOOOOOOOO
OOOOOOOOO
ROOROOROOR
OOOOOOOOO
OOOOOOOOO
ROOROOROOR

Ed è facile controllare che si può ottenere una tassellazione per ognuna di queste 16 caselle!
Bel problema, non sono pratico di invarianti ed è stato ostico (spero che almeno adesso sia giusto )

[scambret]

Bravo lasker, corretto