Triangolo delle mediane

[Albirz]

Ciao a tutti. Tempo fa lessi che il triangolo formato dalle 3 mediane è i tre quarti del triangolo di partenza, cioè quello nel quale sono tracciate le mediane stesse. Sapreste indicarmi la dimostrazione? Grazie mille!

[Gizeta]

Penso questa immagine possa essere sufficiente.

Testo nascosto:

[Albirz]

Potresti, se possibile, spiegarmi poi meglio la figura mediante delle formule e il ragionamento che hai seguito? Grazie.

[Gizeta]

Comincia col mostrare che il triangolo mediale di un triangolo (cioè il triangolo ottenuto congiungendo i punti medi di un triangolo) suddivide questo in quattro triangoli congruenti.
A questo punto come puoi vedere dall'immagine ho sfruttato i parallelogrammi per "trasportare" le mediane.

Andando in senso orario e partendo da quello più alto nominiamo i tre vertici [tex]A,B,C[/tex], siano inoltre [tex]M_{\overline{PQ}}[/tex] il punto medio del lato [tex]\overline{PQ}[/tex] e [tex]A(\triangle{PQR})[/tex] l'area del triangolo di vertici [tex]P,Q,R[/tex].

Consideriamo [tex]\triangle AM_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}[/tex], per costruzione questo ha area uguale a quella del triangolo mediale (perché?), ossia [tex]\displaystyle \frac{1}{4}A(\triangle{ABC})[/tex].
Riesci a scrivere l'area di tutti i vari "pezzi" del triangolo costruito con le mediane in funzione dell'area del triangolo mediale sfruttando la figura?

[Albirz]

Credo di aver capito quello che intendi. Solo una cosa: hai detto che il triangolo avente per vertici AM(ab)M(bc) ha l'area uguale al triangolo mediale...mi spieghi perchè; io l'ho capito perchè ho notato che hanno due lati uguali e gli angoli compresi supplementari quindi calcolando l'area con la formula 1/2 a*b*sen(alfa) vedo che avendo angoli supplementari i seni uguali allora le aree sono uguali. Tu disponi di una dimostrazione "geometrica" per caso o hai seguito questo ragionamento?

[Gizeta]

[tex]AM_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}M_{\overline{CA}}[/tex] è un parallelogramma e [tex]\overline{AM_{\overline{BC}}}[/tex] è una delle sue diagonali, inoltre [tex]A(AM_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}M_{\overline{CA}})=2A(\triangle M_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}M_{\overline{CA}})[/tex]

[perché come abbiamo detto il triangolo mediale di un triangolo divide questo in quattro triangoli congruenti, e dunque equivalenti]

quindi il valore cercato è esattamente metà di questo!

[Lasker]

Oppure un modo carino che avevo trovato era fare conti con il prodotto vettore! Scegli un'origine a caso, usi associatività ed anticommutatività e viene senza nemmeno bisogno di fare il disegno in una mezza pagina (procedimento ispirato da quello del tetraedro di ammissione alla superiore di Udine, che avevo fatto allo stesso modo )