Testo dell'esercizio:
"Sia ABC un triangolo con BC = 10. Sia E un punto su BC con BE = 8 e AE = 4. Sia F il piede della bisettrice dell'angolo E nel triangolo AEB. Sia K l'intersezione tra AE ed FC e H quella tra BK e AC. Quanto vale il rapporto tra BK e KH?"
Grazie in anticipo per chi riesce a darmi una mano.
La risposta dovrebbe essere $6$, se non vado errato. Vediamo perché:
Per il teorema della bisettrice sul triangolo $\triangle AEB$, sappiamo che $2AF=FB$, ora, visto che le tre rette $AE$, $BH$ e $CF$ concorrono in $K$, per Ceva su $\triangle ABC$, si ha:
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CH}{HA}=1$$
Da cui, sostituendo i nostri dati, si ha che:
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{2}\cdot \frac{CH}{HA}=1 \Rightarrow \frac{CH}{HA}=\frac{1}{2}$$
Tracciamo ora le parallele a $AE$ passanti per $B,H,C$, e chiamiamo $H'$ l'intersezione della retta per $H$ con $BC$. Per il teorema di Talete si ha allora:
$$\frac{EH'}{EC}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow\frac{EH'}{2}=\frac{2}{3} \Rightarrow EH'=\frac{4}{3}$$
Ora, sempre per Talete rispetto alla retta $BH$ abbiamo:
$$\frac{BK}{KH}=\frac{8}{4/3}=6$$
EDIT: Al primo invio ho sbagliato a chiamare i lati, adesso dovrebbe essere corretto (spero)
Ultima modifica di Lasker il 24/06/2014, 15:40, modificato 2 volte in totale.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
Se non ti piace Ceva, dovrebbe esserci una soluzione più semplice: infatti, se guardi bene, il rapporto con cui $H$ divide $AC$ è lo stesso che ci verrebbe dal teorema della bisettrice su $\triangle AEC$, quindi $H$ è proprio un piede di una bisettrice di $\triangle AEC$, che forse si mostra con angle chasing (non ho voglia di farlo ).
Ho lasciato la mia soluzione originale con Ceva perché è un metodo più generale.
Se invece ti interessava solo il risultato (come capita spesso ad una gara a squadre oppure alle prime fasi delle Olimpiadi individuali), un'idea che funziona quasi sempre con questo tipo di problemi è mettersi in un caso particolare e smontarlo con dei conti in analitica
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
Semplicemente sono un idiota, l'ho fatto con $AE=8$ e $BE=4$, scambiandoli
Fortunatamente non cambia praticamente nulla (ed il commento post-soluzione continua a funzionare), adesso dovrebbe essere giusta.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
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