28. Tutti equilateri

[AGallese]

Sia $O$ il centro di una circonferenza. I punti $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$ sono presi sulla circonferenza, in quest'ordine, così che i triangoli $OAB$, $OCD$, e $OEF$ siano equilateri. Siano $L$, $M$, e $N$, i punti medi di $BC$, $DE$, e $FA$, rispettivamente. Prova che il triangolo $LMN$ è equilatero.

[RyzePHi]

Bene proviamo a stuprare sto' problema in complessi: mettiamo il centro $O$ nell'origine e chiamiamo i vertici $a,b,c,d,e,f$. Ora da quanto detto si ha: $\omega a=b \ \ \wedge \omega c=d \wedge \ \ \ \omega e=f$ dove $\omega $ è radice sesta dell'unità che corrisponde ad una rotazione di $ \dfrac {\pi}{3}$ in senso antiorario intorno all'origine. Si ha poi $ l= \dfrac {b+c}{2} \ \ \wedge m=\dfrac {d+e}{2} \ \ \wedge n=\dfrac {f+a}{2}$. Ci tocca ora dimostrare che $ \omega(m-l)+l=n \Rightarrow \omega\left(\dfrac {d+e}{2}-\dfrac {b+c}{2}\right)=\dfrac {f+a}{2} \Rightarrow \omega d+\omega e -\omega b -\omega c +b+c=f+a \Rightarrow \omega^2c-\omega^2a-\omega c +\omega a +c-a=0 \Rightarrow (c-a)(\omega^2-\omega+1)=0$ ma $\omega $ è per definizione il numero complesso tale che $\omega^2-\omega+1=0$ e quindi la tesi è stata dimostrata.

[AGallese]

Perfect!