a) Sia $ABCDEF$ l'esagono i questione. Chiaramente, essendo l'esagono regolare, i lati opposti sono paralleli. Siano $M,N$ le proiezioni di $P$ su due lati opposti paralleli, WLOG $AB,DE$ e sia $\Lambda$ la circonferenza circoscritta all'esagono, con centro $O$. WLOG il lato dell'esagono è $1$ e quindi anche il raggio della circoscritta per questione di angoli (questo credo sia noto) . Distinguiamo due casi:
$\bullet$ $P$ è interno al segmento $MN$, allora chiaramente $PM+PN=MN= 2 \cdot \sqrt {1^2- (\dfrac {1}{2})^2}= 2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{2}= \sqrt 3$
$\bullet $ $P$ è esterno al segmento $MN$, allora $PM+PN>MN= \sqrt 3 $ , quindi in questo caso la distanza non è minima.
Allora chiaramente il minimo della distanza tra due lati opposti dell'esagono si raggiunge quando $P$ è interno al segmento $MN$ . Iterando ciclicamente il ragionamento alle altre due coppie di lati paralleli, si ottiene che il minimo per $s(P)= 3 \cdot \sqrt 3 $ e si ottiene quando $P$ è interno al segmento che congiunge le sue proiezioni sui lati opposti. Allora il luogo dei punti $P$ che minimizzano $s(P)$ è l'esagono stesso, compresi i punti sul suo perimetro, poichè deve essere l'insieme dei punti interno alle strisce comprese tra lati opposti paralleli.
b)Consideriamo le coppie di vertici opposti $(A,D);(B,E);(C,F)$ ed i rispettivi triangoli $\triangle APD,\triangle BPE,\triangle CPF$ . Applichiamo la disuguaglianza triangolare a ciascuno di essi, ottenendo:
$AP+PD \geq AD ; BP+PE \geq BE; CP+PF \geq CF $ con uguaglianza iff $P$ si trova sui segmenti $AD,BE,CF$ . Sommando membro a membro le tre disuguaglianze ( hanno lo stesso verso) , si ottiene:
$ AP+PD+ BP+PE+ CP+PF \geq AD+ BE+ CF $ con uguaglianza iff $P$ si trova contemporaneamente sui tre diametri, quindi $P\equiv O$ .
Bene, ma il nostro RHS è proprio $v(P)$ e quindi esso è minimo quando $P\equiv O$ .