[L05] Basta Eulero! Meglio incentri a caso

[cip999]

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo, e siano $D$, $E$, $F$ i piedi delle altezze uscenti da $A$, $B$, $C$, rispettivamente. Sia $I$ l'incentro di $ABC$, e siano $I_1$, $I_2$, $I_3$ gli incentri di $AEF$, $BFD$, $CDE$, rispettivamente.

(a) Dimostrare che $I$ è l'ortocentro di $I_1I_2I_3$.
(b) Siano $O_1$ il circocentro di $BCI_2$, $O_2$ il circocentro di $CAI_3$ e $O_3$ il circocentro di $ABI_1$. Dimostrare che la retta $I_kI_{k + 1}$ è parallela alla retta $O_kO_{k + 1}$ per $k = 1, \: 2, \: 3$ (indici modulo $3$).

[emanuelecampeotto]

Intanto il primo punto.

Testo nascosto:

Si nota che vale la similitudine tra [tex]AEF[/tex] e [tex]ABC[/tex]. Ci si arriva o per angle chasing o per la potenza di [tex]A[/tex] rispetto alla circonferenza circoscritta al ciclico [tex]BCEF[/tex]. Il rapporto di similitudine vale [tex]k=(AE)/(AB)=cos(a)[/tex]. Valendo la similitudine, si ha [tex]I_1A=k*IA[/tex], da cui [tex]II_1=IA*(1-k)[/tex]. Ponendo l'origine nell'incentro, si hanno i seguenti vettori: [tex]I=0[/tex], [tex]I_1=A(1-cos(a))[/tex], [tex]I_2=B(1-cos(b))[/tex], [tex]I_1=C(1-cos(c))[/tex], per la ciclicità di quanto visto precedentemente. Dimostriamo che il vettore [tex]D=I_3I_2[/tex] è perpendicolare al vettore [tex]A[/tex]. Si ha: [tex]D=I_2-I_2=B(1-cos(b))-C(1-cos(c))[/tex]. La perpendicolarità si ha se e solo se il prodotto scalare fra i due vettori è nullo. Si applica la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto all'addizione, si scrivono i prodotti scalari tra [tex]A[/tex];[tex]B[/tex] e [tex]A[/tex];[tex]C[/tex], nella forma trigonometrica, si semplifica la misura [tex]IA[/tex] (perché si è posto il prodotto scalare uguale a zero), si nota che l'angolo compreso fra [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] è [tex]90°+c/2[/tex], che ha come coseno [tex]-sin(c/2)[/tex]. Analogamente l'angolo compreso fra [tex]A[/tex] e [tex]C[/tex] ha coseno [tex]-sin(b/2)[/tex]. Così la condizione diventa: [tex]IB*(sin(c/2))(cos(b)-1)=IC*(sin(b/2))(cos(c)-1)[/tex]. Col teorema dei seni su [tex]BIC[/tex] si ha: [tex]IB/IC=(sin(c/2))/(sin(b/2))[/tex]. così la condizione di perpendicolarità diventa: [tex](cos(b)-1)(sin(c/2))^2=(cos(c)-1)(sin(b/2))^2[/tex]. Utilizzando la nota formula di bisezione del seno, risulta: [tex]0,5*(1-cos(c))(cos(b)-1)=0,5*(1-cos(b))(cos(c)-1)[/tex], che ovviamente è verificata! Quindi i vettori sono perpendicolari, quindi in [tex]I_1I_2I_3[/tex], [tex]II_1[/tex] è altezza. Per simmetria, anche [tex]II_2[/tex] e [tex]II_3[/tex] sono altezze, dunque [tex]I[/tex] è ortocentro di [tex]I_1I_2I_3[/tex], CVD.

[emanuelecampeotto]

PS in assenza di [tex]alfa[/tex], [tex]beta[/tex], [tex]gamma[/tex] ho usato [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex].

[emanuelecampeotto]

Secondo punto:

Testo nascosto:

Dimostriamo che [tex]BI_2I_3C[/tex] è ciclico. Ciò accade se e solo se [tex]IB*II_2=IC*II_2[/tex]. Utilizzando le notazioni precedenti, diventa: [tex](1-cos(b))IB^2=(1-cos(c))IC^2[/tex]. Utilizzando sempre il teorema dei seni, si ottiene: [tex](1-cos(b))(sin(c/2))^2=(1-cos(c))(sin(b/2))^2[/tex], che è un'identità. Ciclando la proprietà trovata, si ha che [tex]BCI_3I_2[/tex], [tex]CAI_1I_3[/tex], [tex]ABI_2I_1[/tex] sono ciclici e i centri delle loro circoscritte sono rispettivamente [tex]O_1[/tex], [tex]O_2[/tex], [tex]O_3[/tex]. Quindi [tex]AI[/tex] è asse radicale delle circonferenze di centri [tex]O_2[/tex] e [tex]O_3[/tex]. Quindi c'è perpendicolarità fra [tex]O_2O_3[/tex] e [tex]AI[/tex]. Ma per la dimostrazione precedente, vale anche la perpendicolarità fra [tex]AI[/tex] e [tex]I_1I_2[/tex]. Dunque [tex]O_2O_3[/tex] e [tex]I_1I_2[/tex] sono parallele. Ciclando le osservazioni, si ha la tesi

[emanuelecampeotto]

Secondo punto:

Testo nascosto:

Dimostriamo che [tex]BI_2I_3C[/tex] è ciclico. Ciò accade se e solo se [tex]IB*II_2=IC*II_2[/tex]. Utilizzando le notazioni precedenti, diventa: [tex](1-cos(b))IB^2=(1-cos(c))IC^2[/tex]. Utilizzando sempre il teorema dei seni, si ottiene: [tex](1-cos(b))(sin(c/2))^2=(1-cos(c))(sin(b/2))^2[/tex], che è un'identità. Ciclando la proprietà trovata, si ha che [tex]BCI_3I_2[/tex], [tex]CAI_1I_3[/tex], [tex]ABI_2I_1[/tex] sono ciclici e i centri delle loro circoscritte sono rispettivamente [tex]O_1[/tex], [tex]O_2[/tex], [tex]O_3[/tex]. Quindi [tex]AI[/tex] è asse radicale delle circonferenze di centri [tex]O_2[/tex] e [tex]O_3[/tex]. Quindi c'è perpendicolarità fra [tex]O_2O_3[/tex] e [tex]AI[/tex]. Ma per la dimostrazione precedente, vale anche la perpendicolarità fra [tex]AI[/tex] e [tex]I_1I_2[/tex]. Dunque [tex]O_2O_3[/tex] e [tex]I_1I_2[/tex] sono parallele. Ciclando le osservazioni, si ha la tesi

[Saro00]

Metto in spoiler un'idea per risolverlo in sintetica. Se nei prossimi giorni mi verrà voglia la scriverò per intero.

Testo nascosto:

a)[tex]AI_1F \sim DI_2F[/tex] (palese conto d'angoli). Quindi esiste una rotomotetia di centro [tex]F[/tex] che manda [tex]AI_AF\rightarrow DI_2F[/tex]. Da questa rotomotetia per un noto lemma (che non è altro che un angolo + un rapporto) si ha che [tex]AFD\sim I_1FI_2[/tex].
Sapendo questa similitudine è un conto d'angoli.
b) Sfruttando il punto a) si trova facilmente che [tex]AI_1I_2B[/tex] (e cicliche) è ciclico.
[tex]II_3[/tex] è quindi l'asse radicale delle circonferenze di centro [tex]O_1[/tex] e [tex]O_2[/tex]. Quindi [tex]O_1O_2\perp I_3I[/tex], ma per il punto a) si ha anche [tex]II_3\perp I_1I_2[/tex], da cui [tex]O_1O_2\mid \mid I_1I_2[/tex]

[cip999]

@emanuelecampeotto: Buone entrambe. Magari però qui

Si applica la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto all'addizione, si scrivono i prodotti scalari tra [tex]A[/tex];[tex]B[/tex] e [tex]A[/tex];[tex]C[/tex], nella forma trigonometrica, si semplifica la misura [tex]IA[/tex] (perché si è posto il prodotto scalare uguale a zero), si nota che l'angolo compreso fra [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] è [tex]90°+c/2[/tex], che ha come coseno [tex]-sin(c/2)[/tex]. Analogamente l'angolo compreso fra [tex]A[/tex] e [tex]C[/tex] ha coseno [tex]-sin(b/2)[/tex]

avresti potuto esplicitare i conti...

Ora in sintetica! (Senza leggere gli hint di Saro se potete farne a meno, che sono quasi una soluzione)