Cesenatico 2005 1

[Rho33]

Sia $\triangle ABC$ un triangolo rettangolo, con ipotenusa $AC$ , e sia $H$ il piede dell'altezza condotta da $B$ ad $AC$ . Sapendo che le lunghezze $AB,BC,BH$ , costituiscono i lati di un nuovo triangolo rettangolo, determinare i possibili valori di $\dfrac {AH}{CH}$ .

[Gerald Lambeau]

Testo nascosto:

Faccio il caso $AB>BC$, per le ovvie simmetrie se $BC>AB$ viene fuori l'inverso del valore che troveremo.
Dato che $AB>BC>BH$, se le tre lunghezze formano i lati di un triangolo rettangolo deve valere $AB^2=BC^2+BH^2$, ma considerando il triangolo rettangolo $ABH$ abbiamo che $AB^2=BH^2+AH^2$ e quindi, unendo le due uguaglianze, otteniamo $BC=AH$. Per il primo teorema di Euclide abbiamo, ponendo $AC=x, BC=AH=y$:
$\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{y}{x-y} \Rightarrow x^2-xy-y^2=0 \Rightarrow x=\frac{y \pm \sqrt{y^2+4y^2}}{2}=y \cdot \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$, ma dato che si parla di lunghezze positive e che $1-\sqrt{5}<0$ abbiamo:
$\displaystyle x=y \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{y}{x-y}=\frac{x}{y}=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Di conseguenza, se $BC>AB$ si invertono tutte le considerazioni e troviamo che in questo caso $\displaystyle \frac{CH}{AH}=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{2}{1 + \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

[Rho33]

Ok, la mia è abbastanza simile ( uso entrambi i teoremi di Euclide), comunque è qui, come sempre http://forum.olimato.org/stile-dimostra ... 24-10.html