[L05] Due bisettrici e una diagonale

[Veritasium]

Sia [tex]ABCD[/tex] un quadrilatero ciclico, e siano [tex]P, Q, R[/tex] i piedi delle perpendicolari da [tex]D[/tex] alle rette [tex]BC, CA, AB,[/tex] rispettivamente.

Dimostrare che [tex]PQ \cong QR[/tex] se e solo se le bisettrici di [tex]\angle ABC[/tex] e [tex]\angle CDA[/tex] concorrono con [tex]AC[/tex].

[Giovanni98]

Non lasciamolo a se stesso.

Soluzione :

Testo nascosto:

Per il teorema di Simson $P,Q,R$ sono allineati. A questo punto suppongo $PQ=QR$. Poichè $ABCD$ ciclico ho $ADC=RDP=180-\beta \Rightarrow ADR=CDP \Rightarrow RDA \approx PDC \Rightarrow \dfrac{AD}{DC}=\dfrac{RD}{DP}$. Ora poichè abbiamo supposto $PQ=QR$ si ha $\dfrac{\sin(RDQ)}{\sin(QDP)}=\dfrac{DP}{DR}$. Per la ciclicità di $RQDA$ si ha $RDQ=BAC$ e per la ciclicità di $QDPC$ si ha $BCA=QDP$. Ora sia $H$ il piede dell'altezza uscente da $B$ del triangolo $ABC$. Allora vale $AB \sin (BAC) = BC \sin (BCA) = BH$ che, per le uguaglianze dimostrate in precedenza ci porta a $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DR}{DP} = \dfrac{AD}{DC}$ e quindi per il teorema della bisettrice applicato ai triangoli $ABC$ e $ADC$ la tesi è dimostrata. Ora supponendo la concorrenza si sfruttano le ciclicità $\dfrac{\sin(RDQ)}{\sin(QDP)}=\dfrac{DP}{DR}$ che dimostra $PQ=QR$ (è come fare il caso di prima a ritroso).

[Veritasium]

Buona