Simulazione 2015 1

[Rho33]

Sia $ABCD$ un rettangolo, $P$ il punto medio di $AB$, Q la proiezione di C sulla retta $DP$. Dimostrare che $BCQ$ è isoscele.

[carlotheboss]

Ecco la mia:

Testo nascosto:

Notiamo innanzitutto che [tex]\triangle APD \cong \triangle BPC[/tex] dato che sono due triangoli rettangoli coi cateti congruenti ([tex]AD = BC[/tex] perché [tex]ABCD[/tex] è un rettangolo e [tex]AP = PB[/tex] per ipotesi). Allora vale anche [tex]\angle APD = \angle BPC[/tex] e se chiamiamo questi due angoli [tex]\alpha[/tex] vale anche che [tex]\angle ADP = \angle PCB = 90° - \alpha[/tex] (triangoli rettangoli). Consideriamo ora [tex]\triangle DQC[/tex]: esso è per ipotesi rettangolo in [tex]Q[/tex] e vale [tex]\angle QDC = \angle ADC - \angle ADP= 90° - (90° - \alpha) = \alpha[/tex] e [tex]\angle QCD = 90° - \alpha[/tex].
Fatto questo consideriamo il punto medio [tex]O[/tex] di [tex]CP[/tex] e tracciamo la circonferenza di centro $O$ e raggio $OC$. Ad essa appartengono i punti $C$, $B$, $P$, $Q$, in quanto sia $\triangle CBP$ sia $\triangle CQP$ sono triangoli rettangoli (per ipotesi) e hanno il circocentro sul punto medio dell'ipotenusa $CP$, in comune (il raggio delle circonferenze circoscritte ai due triangoli è uguale e dunque, avendo anche lo stesso centro, sono la stessa circonferenza). $\angle CPB$ è un angolo alla circonferenza che insiste su $BC$ dunque esso è congruente a $\angle CQB$, che pertanto deve valere $\alpha$. A questo punto vale $\angle BCQ = \angle BCD - \angle DCQ = 90° - (90° - \alpha) = \alpha$. Quindi gli angoli $\angle BQC$ e $\angle BCQ$ sono congruenti e il triangolo $BCQ$ è un triangolo isoscele con base $QC$.

[Rho33]

Precisa identica alla mia ma in ordine diverso! La puoi trovare sempre al solito posto: http://forum.olimato.org/stile-dimostra ... 24-10.html

[carlotheboss]

Effettivamente leggendo la tua mi accorgo ora di aver considerato solo il caso in cui [tex]Q[/tex] è interno al rettangolo ma noto ora che la mia dimostrazione funziona ugualmente anche in questo caso (sono sempre ciclici i quattro punti e vale tutta la roba sugli angoli)

[alepiazza]

Forse è una domanda stupida ma se ABCD è un parallelogramma, BCQ è comunque isoscele?